Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Типовой отчет. 1. Найти корень уравнения x + ln x = 0 методом итераций с точностью e = 0,01 и e = 0,001 для двух отрезков локализации корня: с параметром q < 0,5 и q >
|
|
1. Найти корень уравнения x + ln x = 0 методом итераций с точностью e = 0, 01 и e = 0, 001 для двух отрезков локализации корня: с параметром q < 0, 5 и q > 0, 5. Для каждого из отрезков провести расчет для 3-х начальных приближений: границ и середины отрезка локализации корня. Для каждого расчета определить приближенное значение корня x* уравнения, число итераций k до достижения заданной точности, фактическое отклонение от точного решения x.
2. Область определения функции f(x) = x + ln x: x > 0.
3. f(0, 1) = -2, 20259, f(0, 6) = 0, 089174. Корень локализован на отрезке
x Î [0, 1; 0, 6].
4. Производная функции f(x): 
.
Минимальное значение модуля производной:
.
Максимальное значение модуля производной:
.
5. Коэффициент уменьшения погрешности за одну итерацию:
. Достаточные условия сходимости алгоритма q < 1 выполняются.
6. Корректирующий множитель 
.
7. Итерационный алгоритм реализуется в соответствии с формулой:
xk+1 = g(xk), где g(xk) = xk + l f(xk), k = 0, 1, 2, …
Так как q > 0, 5, то оценка точности на итерации k + 1 осуществляется по формуле: dk+1 = ½ x - xk+1 ½ £ 10½ xk - xk+1 ½.
Точное значение корня x = 0, 567143.
В таблице представлены результаты расчета корня x* уравнения для 3-х начальных приближений x0 (границ и середины отрезка локализации корня), для 2-х заданных погрешностей расчета (e = 0, 01 и e = 0, 001), число итераций k до достижения заданной точности, фактическое отклонение от точного решения x.
| x0 | e = 0, 01 | e = 0, 001 | ||||
| x* | k | ½ x - x* ½ | x* | k | ½ x - x* ½ | |
| 0, 1 | 0, 564370 | 0, 002774 | 0, 566870 | 0, 000274 | ||
| 0, 35 | 0, 564775 | 0, 002368 | 0, 566910 | 0, 000234 | ||
| 0, 6 | 0, 569630 | 0, 002487 | 0, 567390 | 0, 000246 |
8. Найден отрезок локализации корня шириной 0, 2, равный
x Î [0, 5; 0, 7]. Тогда параметры задачи равны: m = 2, 428571, M = 3,
q = 0, 190476, l = -0, 33333. Так как q < 0, 5, то оценка точности на итерации
k + 1 осуществляется по формуле: dk+1 = ½ x - xk+1 ½ £ ½ xk - xk+1 ½. Изменяется формула в ячейке Е12 = " =ABS(D12-D11)" и протягивается вниз по столбцу Е.
Результаты расчетов представлены в таблице.
| x0 | e = 0, 01 | e = 0, 001 | ||||
| x* | k | ½ x - x* ½ | x* | k | ½ x - x* ½ | |
| 0, 5 | 0, 566929 | 0, 000214 | 0, 567126 | 0, 000017 | ||
| 0, 6 | 0, 567369 | 0, 000252 | 0, 567163 | 0, 000020 | ||
| 0, 7 | 0, 567273 | 0, 000130 | 0, 567154 | 0, 000010 |
9. Результаты численных расчетов следует представлять с учетом заданной точности расчета: x*= 0, 56 ± 0, 01 (с точностью e = 0, 01) и x*= 0, 567 ± 0, 001 (с точностью e = 0, 001).
Варианты.
Найти корень заданного уравнения методом итераций с точностью
e = 0, 01 и e = 0, 001 для двух отрезков локализации корня: с параметром q < 0, 5 и q > 0, 5. Для каждого из отрезков провести расчет для 3-х начальных приближений: границ и середины отрезка локализации корня. Для каждого расчета определить приближенное значение корня x* уравнения, число итераций k до достижения заданной точности, фактическое отклонение от точного решения x.
| 1. | x4 – 3x – 20 = 0, x > 0 | 2. | x3 – 2x – 5 = 0, x > 0 |
| 3. | x3 + 3x + 5 = 0 | 4. | x4 + 5x – 7 = 0, x > 0 |
| 5. | x3 – 12x – 5 = 0, x > 0 | 6. | x3 – 2x2 – 4x + 5 = 0, x < 0 |
| 7. | x + e x = 0 | 8. | x5 - x - 2 = 0 |
| 9. | x3 – 10x + 5 = 0, x < 0 | 10. | 2 – ln x – x = 0 |
| 11. | x3 + 2x - 7 = 0 | 12. | x3 + x2 – 11 = 0, x > 0 |
| 13. | x4 – 2x – 4 = 0, x > 0 | 14. | 2e x + x – 1 = 0 |
| 15. | x4 – 2x – 4 = 0, x < 0 | 16. | 2x3 + x2 – 4 = 0, x > 0 |
| 17. | e x – x – 2 = 0 | 18. | 0, 5e x – x – 1 = 0, x > 0 |
| 19. | x2 – cos x = 0, x > 0 | 20. | x2 + ln x = 0 |
| 21. | ln x + 0, 5x – 1 = 0 | 22. | ln x - 0, 5x + 1 = 0, x > 1 |
| 23. | 
| 24. |  , x > 0
|
| 25. | 
|