Систему 2-х уравнений с двумя неизвестными

(1)

будем представлять в виде

. (2)

Решением системы уравнений называется вектор , координаты которого подставленные в систему обращают ее уравнения в равенства.

Пусть установлено, что система имеет единственное решение , принадлежащее замкнутому прямоугольнику

D = { (x, y): a £ x £ b; c £ y £ d }.

Возьмем произвольную точку и, используя формулы

x_k = g₁(x_k-1 , y_k-1 ), y_k = g₂(x_k-1 , y_k-1 ), k = 1, 2, 3, … (3)

получим последовательность векторов , которая сходится к решению уравнения , если выполняются условия следующей теоремы.

Теорема. Если функции g₁(x, y) и g₂(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными 1-го порядка в замкнутом прямоугольнике D и выполнены два условия:

1) норма матрицы Якоби J_g функций g₁(x, y) и g₂(x, y) не превосходит единицы для любого вектора ;

2) значения вектор-функции для любого вектора , то при любом выборе начального приближения процесс итераций сходится к единственному корню системы уравнений в прямоугольнике D.

Оценка погрешности k -го приближения к решению имеет вид:

,

где .

При решении методом итераций системы нелинейных уравнений областью D можно считать множество точек вблизи точки пересечения кривых, определяемых уравнениями f₁(x, y) = 0 и f₂(x, y) = 0.

Для практической оценки погрешности k -го приближения можно пользоваться неравенствами:

В качестве вспомогательных функций можно выбрать:

(4)

Система уравнений (1) равносильна системе уравнений (2) с правыми частями (4) при условии:

Для вычисления корректирующих множителей l_ij будем считать, что матрица Якоби J_g равна нулю в точке . Тогда, в силу предположения о непрерывности компонент матрицы, найдется окрестность точки , где , и условия теоремы выполнены.

Будем для определенности использовать m - нормы для оценки матриц и векторов:

,

.

Равенство в m - норме означает, что матрица - нулевая, то есть:

,

что эквивалентно системе линейных алгебраических уравнений:

Эта система распадается на две системы линейных алгебраических уравнений:

,

.

Вводим обозначения:

- 1-ая вектор-строка матрицы корректирующих множителей,

- 2-ая вектор-строка матрицы корректирующих множителей,

- матрица Якоби системы функций
f₁(x, y) и f₂(x, y),

- вектор правых частей 1-ой системы,

- вектор правых частей 2-ой системы.

Для вектор-строк L₁ и L₂ не используется символ " ®", так как вектором считаем упорядоченный столбец чисел.

Тогда системы уравнений для определения корректирующих коэффициентов запишутся в виде:

Символ " т " означает транспонирование матриц.

Их решение имеет вид:

Обозначим элементы обратной матрицы Якоби следующим образом:

.

Тогда, учитывая структуру векторов и , получим следующие значения корректирующих множителей:

.

Таким образом, итерационный алгоритм (3) полностью определен.