Типовой отчет. 1. Численно решить систему 2-х нелинейных уравнений методом итераций с точностью e = 0,001, сравнить приближенное решение с точным:

1. Численно решить систему 2-х нелинейных уравнений методом итераций с точностью e = 0, 001, сравнить приближенное решение с точным:

при x > 0, y > 0.

2. Для локализации решения построим графики функций. Для этого преобразуем уравнения системы с учетом условия x > 0, y > 0:

.

Таблица значений функций и их графики.

В качестве приближенного решения принято
x₀ =1, 8 и y₀ = 1, 5.

3. Перепишем систему в следующем виде:

.

Вводим вспомогательные функции следующим образом:

.

4. Матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке начального приближения (x₀ ; y₀ ) = (1, 8; 1, 5) имеет вид:

.

Обратная матрица Якоби в точке начального приближения
(x₀ ; y₀ ) = (1, 8; 1, 5) имеет вид:

.

Матрицу корректирующих множителей в точке начального приближения имеет вид:

.

5. Итерационный алгоритм реализуется по формуле:

x_k = g₁(x_k-1 , y_k-1 ), y_k = g₂(x_k-1 , y_k-1 ), k = 1, 2, 3, …

Оценка погрешности k -го приближения производится по формуле:

,

где - вектор k -го приближения,

- вектор точного решения,

- норма вектора,

- максимальная норма матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y) в области D с центром в точке начального приближения, локализующей решение.

В качестве нормы матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y):

принимается m -норма:

.

6. Точность d_k = 0, 000422 < e = 0, 001 достигается на 3-ей итерации, значения переменных равны x₃ =1, 716692 и y₃ = 1, 39538.

Матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке приближенного решения:

Матрица Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y) в точке приближенного решения:

m -норма матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y):

,

значит, достаточное условие достижения заданной точности выполнено.

Приближенные и точные значения переменных, а также фактическая погрешность приведены в таблице.

Реальная точность на порядок меньше гарантированной.

7. Рассмотрим итерационный алгоритм с начальным приближением, существенно отклоняющимся от точного решения x₀ =5, 0 и y₀ = 5, 0.

Матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке начального приближения (x₀ ; y₀ ) = (5, 0; 5, 05) имеет вид:

.

Обратная матрица Якоби в точке начального приближения
(x₀ ; y₀ ) = (5, 0; 5, 0) имеет вид:

.

Матрица корректирующих множителей в точке начального приближения имеет вид:

.

Точность d_k = 0, 000802 < e = 0, 001 достигается на 25-ой итерации, значения переменных равны x₂₅ =1, 718144 и y₂₅ = 1, 398233.

Матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке приближенного решения:

Матрица Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y) в точке приближенного решения:

m -норма матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y):

,

значит, достаточное условие достижение заданной точности не выполнено.

Приближенные и точные значения переменных, а также фактическая погрешность приведены в таблице.

Таким образом заданная точность не достигнута. Для гарантированного выполнения заданной точности в качестве решения принимается та итерация, на которой выполняется условие . Это условие выполнено на 34-ой итерации, значения переменных равны
x₃₄ =1, 716832 и y₃₄ = 1, 395658.

Матрица Якоби системы функций f₁(x, y) и f₂(x, y) в точке приближенного решения:

Матрица Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y) в точке приближенного решения:

m -норма матрицы Якоби системы функций g₁(x, y), g₁(x, y):

.

и с учетом того, что на 34-ой итерации имеет место 10× d_k = 000889 < e = 0, 001, то гарантированная точность достигнута.

Приближенные и точные значения переменных, а также фактическая погрешность приведены в таблице.

Таким образом, существенное отклонение начального приближения от точного решения значительно увеличивает вычислительные затраты.

8. Решение системы должно быть представлено в виде, соответствующим заданной точности: х^* = 1, 717 ± 0, 001, у^* = 1, 396 ± 0, 001.

Варианты.

Численно решить систему 2-х нелинейных уравнений методом итераций с точностью e = 0, 001, сравнить приближенное решение с точным.

1.	при x > 0	2.	при x < 0
3.	при x > 0	4.	при x > 0
5.	при x < 0	6.	при y > 0
7.	при y < 0	8.	при x > 0
9.	при x < 0	10.	при x < 0
11.	при x > 0	12.	при x > 0
13.	при y < 0	14.
15.	при y > 0	16.	при y < 0
17.	при x > 0	18.	при x < 0
19.	при x > 0	20.	при x < 0
21.	при x > 0	22.	при x > 0
23.	при x > 0	24.	при x < 0
25.	при x > 0, y > 0	26.	при x < 0, y < 0