Проста гармоніка

Так називається дійсна періодична функція виду

(2.1)

Число називається її частотою; її період

Перетворимо праву частину (2.1):

. (2.2)

Позначаючи

(2.3)

одержуємо іншу форму запису простої гармоніки:

, (2.4)

де число > 0 називається амплітудою, а число - початковою фазою (при цьому *).

Очевидно гармоніку виду (2.4) можна записати у формі (2.1). Наприклад,

2.3 РОЗКЛАДАННЯ ПЕРІОДИЧНИХ ФУНКЦІЙ (СИГНАЛІВ) В СУМУ ПРОСТИХ ГАРМОНІК (ГАРМОНІЧНИЙ АНАЛІЗ ПЕРІОДИЧНИХ ФУНКЦІЙ (СИГНАЛІВ))

Скінченна сума простих гармонік із частотами, які кратні одній частоті, є періодичною функцією. Виникає питання: чи можна довільну періодичну функцію записати у вигляді суми гармонік?

Якщо обмежитись скінченними сумами, не можна, як показує

Приклад. Періодична функція на рисунку 2.3

Рисунок 2.3

недиференційована в точках і тому вона не дорівнює скінченній сумі гармонік, яка диференційована всюди.

Однак, якщо скінченну суму замінити нескінченною сумою (рядом), то позитивну відповідь на питання дає

Теорема 1. Нехай періодична функція періоду є кусково гладкою на відрізку *.

Тоді в точках неперервності розкладається в ряд:

, (2.5)

де , який називається її рядом Фур’є.

В точці розриву функції її ряд Фур’є збігається до (див. рисунок 2.4).

Рисунок 2.4

Числа називаються коефіцієнтами Фур’є функції і знаходяться за формулами:

, (2.6)

Зокрема – середнє значення сигналу по періоду.

Має місце рівність Парсеваля (Релея):

. (2.7)

У випадку, коли функція дійсна, перетворимо кожний доданок в сумі (2.5) аналогічно (2.2) - (2.4) і перепишемо формулу (2.5) у вигляді

, (2.8)

де

. (2.9)

Кожний доданок в сумі (2.8) описує гармонічне коливання з амплітудою , частотою , початковою фазою . Сталий доданок називається сталою складовою сигналу , перший гармонічний доданок - основною гармонікою або основним тоном, а наступні ненульові гармонічні доданки – верхніми гармоніками або обертонами.

Тому розкладання періодичного сигналу в ряд Фур’є, тобто в суму гармонік, називається його гармонічним аналізом.