Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
ЗАВДАННЯ. Періодичний сигнал задано на періоді (див
|
|
Періодичний сигнал 
задано на періоді 
(див. рисунок 2.14).
 |
Рисунок 2.14
1 Зобразити графік 
на відрізку 
.
2 Розкласти в ряд Фур’є в дійсній формі.
3 Знайти амплітудний та фазовий спектри сигналу , обмежуючись першими п’ятьма частотами, починаючи з 
.
4 Знайти значення суми ряду в точках 
і порівняти ці значення зі значеннями суми перших п’яти членів ряду Фур’є.
5 Вважаючи, що - струм у провіднику з опором 
, знайти з допомогою рівності Парсеваля сумарну середню за період потужність гармонічних складових цього струму, починаючи зі складової, що відповідає частоті 
.
6 Записати одержаний ряд Фур’є в комплексній формі.
Таблиця 2.1
| № | a | b | Т | С1 | С2 | t1 | t2 |
| -1 | –2 | ||||||
| -2 | –3 | ||||||
| -1 | –3 | ||||||
| ½ | 3/2 | -2 | –1/2 | ||||
| -2 | -1 | -3 | -1 | ||||
| -1 | -2 | –7 | |||||
| 1/3 | 2/3 | -1 | –2/3 | 5/3 | |||
| 5/2 | -4 | -2 | –2 | ||||
| -2 | -3 |
Продовження таблиці 2.1
| -1/2 | 3/2 | ||||||
| -6 | -4 | -2 | |||||
| -3 | -2 | –2 | |||||
| -1 | -1 | –5 | 5/2 | ||||
| 1/2 | |||||||
| -1/2 | -1 | -5 | 3/2 | ||||
| -1 | –3 | ||||||
| -1 | -4 | –3 | |||||
| -2 | –2 | ||||||
| -2 | -1 | -4 | -5 | - | |||
| –2 | |||||||
| -4/5 | 3/5 | -3 | –9/5 | 11/5 | |||
| -5 | –4 | –3 | |||||
| -2 | -1 | -2 | -1 | –5 | |||
| -3/2 | -1/2 | 3/2 | |||||
| -5 | -4 | –8 | |||||
| -1 | -3 | ||||||
| -4 | -2 | ||||||
| 5/2 | -3 | 1/2 | 7/2 | ||||
| 1/2 | 3/2 | -2 | –3/2 | ||||
| -4 | -1 | -4 | |||||
| -2 | -2 | ||||||
| -2 |
Розв’язання № 31. В цьому випадку:
,
тобто на 
сигнал має вигляд (див. рисунок 2.15):
 |
Рисунок 2.15
1 Зображуємо сигнал на 
(див. рисунок 2.16):
2
Рисунок 2.16
3 
. Для того, щоб спростити обчислення коефіцієнтів Фур’є, розглянемо сигнал 
(див. рисунок 2.17):
Рисунок 2.17
.
Оскільки 
відрізняється від 
на сталу складову, то їх коефіцієнти Фур’є при 
співпадають. Тому, використовуючи властивість 3 періодичних функцій, маємо:
Аналогічно
.
Отже, розвинення в ряд Фур’є має вигляд:
. (2.15)
4 Стала складова дорівнює нулю.
Перша гармоніка:
, 
;
і тому
.
Друга гармоніка:
, 
.
і тому
.
Третя гармоніка дорівнює нулю, оскільки:
.
Четверта гармоніка:
;
і тому
.
Зображуємо амплітудний і фазовий спектри, обмежуючись першими п’ятьма частотами (див. рисунок 2.18):
 |
Рисунок 2.18
4 Згідно з теоремою 1 сума ряду 
ряду Фур’є (2.15) в точках 
дорівнює відповідно:
.
А сума перших п’яти гармонік в цих же точках має значення відповідно:
,
які мало відрізняються від S(–2) і S(2) відповідно (що свідчить про те, що пункти 2, 3 завдання виконані вірно).
5 
.
6 При n ³ 1
,
, 
(оскільки сигнал 
дійсний). Тому комплексна форма ряду Фур’є (2.15) має вигляд
.
Наостанок наведемо звіт про виконання варіанта № 32, який склала студентка Т. І. Лобода, використовуючи Mathcad, при цьому перелік завдань дещо модифіковано з урахуванням того, що при їх виконанні використовувалась ПЕОМ.