Комплексна форма ряду Фур’є

Користуючись формулами Ейлера, кожний доданок в сумі (2.5) можна записати у формі

.

Позначаючи для

, ,

,

приходимо до комплексної форми ряду Фур’є:

, .

В цьому випадку рівність Парсеваля записується так:

.

Для дійсних коефіцієнти .

Оскільки при цьому амплітуди і фази з формул (2.8), (2.9) дорівнюють

,

то у випадку, коли дійсний сигнал розкладено в комплексний ряд Фур’є, то амплітудним та фазовим спектром цього сигналу називають відповідно сукупність величин

2.4 Розкладання в ряд Фур’є функцій,

які визначені на відрізку

Розкладання в ряд Фур’є функцій, які визначені на

Нехай функція , що задана на (див. рисунок 2.7), є кусково гладкою на .

Рисунок 2.7

Продовжимо її з періодично на усю вісь (див. рисунок 2.8).

Рисунок 2.8

Одержана періодична функція задовольняє умови теореми 1 вона розкладається в ряд Фур’є. Але на розкладається в ряд Фур’є (2.5).

Розкладання в ряд Фур’є функцій, які задані на

Нехай функція, що задана на (див. рисунок 2.9), є кусково гладкою на .

Рисунок 2.9

Спочатку продовжимо її парним чином на (див. рисунок 2.10),

Рисунок 2.10

а потім періодично на всю вісь (див. рисунок 2.11)

Рисунок 2.11

Одержана періодична парна функція задовольняє умови теореми 1 вона розкладається в ряд Фур’є (2.13) по косинусах. Але на при розкладається в ряд Фур’є (2.13) по косинусах.

Аналогічно, продовжуючи непарним чином на (див. рисунок 2.12),

Рисунок 2.12

а потім періодично на всю вісь (див. рисунок 2.13),

Рисунок 2.13

бачимо, що розкладається в ряд Фур’є (2.14) по синусах.