Фізичний зміст рівності Парсеваля

Враховуючи (2.9) і властивість 3 періодичних функцій, перепишемо рівність Парсеваля (2.7) у формі

. (2.10)

Нехай по провіднику з опором R тече періодичний струм i (t) з періодом Т. Розкладемо i (t) на гармоніки

. (2.11)

Рівність Парсеваля (2.10) для цього випадку після множення на R має вигляд

. (2.12)

Ліва частина (2.12) дорівнює середній потужності струму i (t) на періоді. Перший доданок в лівій частині дорівнює потужності сталої складової в розкладанні (2.11). Легко перевірити, що наступні доданки дорівнюють - середній потужності гармонічних складових на періоді.

Висновок. Формула (2.12) означає, що середня за період потужність періодичного електричного струму дорівнює сумі середніх за період потужностей його гармонічних складових плюс потужність його сталої складової.

СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ ПЕРІОДИЧНОГО СИГНАЛУ

Сукупність величин з формул (2.8), (2.9) називають відповідно амплітудним та фазовим спектрами дійсного сигналу , а його частотним спектром – сукупність тих , для яких .

Графічно амплітудний та фазовий спектри зображуються стовпчиками відповідної довжини, як на рисунку 2.5.

Рисунок 2.5

Приклад. Який сигнал має амплітудний та фазовий спектри, що зображені на рисунку 2.6?

Рисунок 2.6

Розв’язок.

.

РЯДИ ФУР’Є парних і непарних функцій

Коли періодична функція парна, то її коефіцієнти Фур’є і вона в точках неперервності розкладається в ряд Фур’є по косинусах

, . (2.13)

Аналогічна непарна періодична функція розкладається в ряд Фур’є по синусах:

. (2.14)