Властивості визначеного інтеграла.

Тут ми сформулюємо деякі важливі властивості визначеного інтеграла, які нам будуть потрібні у подальшому.

1. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування.

.

2. Якщо верхня межа інтегрування співпадає з нижньою, то інтеграл дорівнює нулю.

.

3. Від переставлення місцями меж інтегрування отримується інтеграл, який дорівнює даному з протилежним знаком.

.

4. Якщо функція інтегровна на максимальному з відрізків , , то справедлива рівність:

. (4.1)

Доведення. Припустимо спочатку, що . Розіб’ємо відрізок на частинні так, щоб точка була точкою розбиття, наприклад . Тоді

.

Цей факт добре ілюструється геометрично (рис. 4).

Рис. 4.

.

Формула (4.1) зберігає справедливість і у випадку, коли . Припустимо, наприклад що . Тоді згідно за попереднім:

.

На підставі властивості 3 маємо:

, і тоді:

, а звідси і випливає формула (4.1). Випадок розглядається аналогічно.

5. Сталий множник можна виносити за знак визначеного інтеграла:

.

6. Якщо функції та інтегровні на відрізку , то функції , також інтегровні на відрізку , причому:

.

7. Якщо функції та інтегровні на відрізку , то функція також інтегровна на відрізку .

8. Якщо , то

.

9. Якщо , то

.

10. Якщо функція інтегровна на , то функція також інтегровна на відрізку , причому:

.

11. Якщо , то

.

Дійсно

.

12. Теорема (про середнє значення функції). Нехай функція неперервна на відрізку , а функція інтегровна на відрізку , і на відрізку зберігає свій знак, тобто при , або при . Тоді на відрізку існує точка така, що виконуватиметься рівність:

.

Доведення. Нехай для визначеності при . Оскільки функція неперервна на відрізку , то згідно з 2-ю теоремою Вейєрштрасса ця функція досягає на цьому відрізку свого найменшого та найбільшого значень . Тоді:

.

Внаслідок неперервності функції на відрізку вона на цьому відрізку інтегровна, а, оскільки функція на відрізку також інтегровна, то інтегровною на буде й функція . А тоді

. (4.2)

Якщо , то з (4.2) випливає, що , і тоді твердження теореми доведено. Нехай , тоді , оскільки . Тому:

,

де

.

Внаслідок неперервності функції на відрізку на підставі 2-ї теореми Больцано–Коші на відрізку існує точка така, що , тобто

,

звідки й випливає твердження теореми.

Наслідок. Якщо, зокрема на , то для неперервної на функції існує таке, що:

,

оскільки (див. п.3).

Величина називається середнім значенням функції на відрізку .

Теорема про середнє значення та наслідок з неї дає можливість оцінювати величини інтегралів без їх безпосереднього обчислювання.

Приклад. Оцінити величину інтеграла:

.

Покладемо в теоремі про середнє значення , . Тоді :

(тут скористалися рівністю – див. п.3).