Невласні інтеграли I роду.

Поняття визначеного інтеграла Рімана, як ми бачили, має зміст для скінченного проміжку і для обмеженої на цьому проміжку функції. Якщо хоч би одна з цих умов не виконана, то інтеграла у власному розумінні не існує. Тому виникає необхідність поширити поняття інтеграла на випадки нескінченного проміжку та необмеженої функції. Відповідно виникають інші поняття – так званих невласних інтегралів I роду (у випадку нескінченного проміжку) та II роду (у випадку необмеженої на проміжку функції). Ми почнемо з поняття невласного інтеграла I роду.

Нехай функція визначена на проміжку і інтегровна на будь якому відрізку , де .

Означення. Невласним інтегралом I роду від функції на проміжку називається границя

. (8.1)

Якщо ця границя існує та скінченна, інтеграл (8.1) називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

Таким чином невласний інтеграл I роду не є границею інтегральних сум, а є границею визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею. З геометричної точки зору він виражає площу необмеженої області (рис. 5).

Рис. 5.

Аналогічно означається невласний інтеграл I роду на проміжку :

(8.2)

А також можливі невласні інтеграли з обома нескінченними межами:

, (8.3) де – довільне число. Інтеграл у лівій частині формули (8.3) збігається тоді і тільки тоді, коли незалежно один від одного збігаються обидва інтеграли у правій частині цієї формули.

Приклади.

1. Дослідити на збіжність та у випадку збіжності обчислити інтеграл?

.

Маємо:

.

Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює .

2. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

.

Відомо, що функція не має границі при . Отже даний інтеграл розбіжний.

3. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

.

Отже даний інтеграл розбіжний (границя існує, але вона нескінченна).

4. .

Даний інтеграл збіжний, і його значення дорівнює 1.

5. Визначимо, для яких значень параметра збігається інтеграл:

.

У випадку маємо:

, тобто інтеграл розбіжний.

Якщо , то

, отже інтеграл збіжний.

Якщо , то

, і інтеграл розбіжний. Таким чином є збіжним, коли , і розбіжним, коли .