Ознаки збіжності невласних інтегралів. II.

Теорема 4 (критерій Коші). Для збіжності невласного інтеграла

(11.1) необхідно і достатньо, щоб для будь якого існувало таке число , щоб при виконувалося нерівність:

. (11.2)

Доведення. Вводячи функцію , умову теореми можна переписати так:

.

А це є критерій Коші існування скінченної границі , тобто інтеграл (11.1) збігається тоді і тільки тоді, коли виконано нерівність (11.2).

Аналогічні твердження справедливі для невласних інтегралів II роду.

Теорема 5. Для збіжності невласного інтеграла

, (11.3)

де – особлива точка, необхідно і достатньо, щоб для будь якого існувало , що з нерівностей , випливала нерівність

.

З теорем 4 та 5 випливає наступна ознака збіжності інтегралів (11.1), (11.3).

Теорема 6. Якщо збігається інтеграл , то збігається інтег-

рал (11.1).

Доведення. З умови теореми на підставі теореми 4 маємо: , що , якщо тільки , . Але

,

отже для тих самих : , звідки внаслідок теореми 4 випливає збіжність інтеграла (11.1).

Теорема 7. Якщо збігається інтеграл , де точка особлива, то збігається інтеграл (11.3).

Зауваження. Обернені твердження до теорем 6, 7 несправедливі, а саме із збіжності інтегралів (11.1), (11.3) не випливає відповідно збіжність інтегралів , .

Означення. Якщо інтеграл збігається, в той час, як інтеграл розбігається, то інтеграл називається умовно збіжним. Якщо разом з інтегралом збігається і інтеграл , то інтеграл називається абсолютно збіжним.

Аналогічні означення вводяться і для інтегралів II роду. Іншими словами, невласний інтеграл (I чи II роду) від функції називається абсолютно збіжним, якщо збіжний інтеграл від функції .

Приклади.

1. Дослідити на збіжність інтеграл

. (11.4)

1) Нехай ; тоді , і оскільки інтеграл збігаєть-

ся, то збіжним є й інтеграл (11.4).

2) Нехай . Покажемо, що інтеграл (11.4) розбігається. Для цього

скористаємось критерієм Коші, а саме покажемо, що існує таке, що такі, що

.

Нехай . Покладемо , , де натуральне . Тоді, оскільки при , : , то

.

Таким чином можемо взяти , і на підставі теореми 4 інтеграл розбіжний.

2. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність інтеграл

.

1) Нехай . Тоді , і, оскільки інтеграл збіжний, то

за теоремою 2 збіжним є інтеграл , отже інтеграл збіжний абсолютно.

2) Нехай . Інтегруючи за частинами, отримаємо:

.

Оскільки , а інтеграл збіжний абсолютно, то є збіжним.

Розглянемо інтеграл при . Маємо: , а інтеграл при , як встановлено у попередньому прикладі, розбігається, отже розбігається й інтеграл , а це означає, що інтеграл при збігається умовно.

3) Нехай . Доведемо на підставі критерію Коші, що інтеграл

розбігається. Задамо і оберемо так, щоб . Покладемо: , . Для виконано , і, крім того, при і : . Отже маємо:

.

Таким чином, обираючи в критерії Коші , отримуємо на його підставі, що інтеграл розбігається.

Отже інтеграл збігається абсолютно при , збігається умовно при і розбігається при .