![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Формула Ньютона–Лейбніца.
Нехай функція
Якщо
Інтеграл (5.1) називається інтегралом зі змінною верхньою межею. Теорема 1. Якщо функція Доведення. Нехай
Внаслідок формули (4.1) маємо:
Оскільки функція
Тоді на підставі властивостей 10, 11 інтеграла (див. п. 4) звідси випливає, що
звідки отримуємо, що Теорема 2. Похідна інтеграла зі змінною верхньою межею від неперервної функції дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі, тобто:
Доведення. Нехай функція
Згідно з теоремою про середнє значення, внаслідок неперервності функції
Тоді
Оскільки
і теорему доведено. Ця теорема має дуже важливе значення. Вона стверджує існування первісної у будь якої неперервної функції і встановлює зв’язок між невизначеним і визначеним інтегралами. Функція
На підставі доведеної теореми легко отримується славнозвісна формула Ньютона–Лейбніца*. Нехай
Покладемо тут
то
Покладемо тут
або, що те ж саме:
Це й є формула Ньютона–Лейбніца, яку називають основною формулою інтегрального зчислення. Її значення важко переоцінити, тому що вона дає зручний засіб обчислення інтегралів без використання інтегральних сум. Правда те, що вона справедлива лише для неперервних функцій, дещо звужує її можливості. Крім того, слід пам’ятати, що існують функції, первісні від яких не виражаються елементарними функціями. Тоді можливості застосування формули Ньютона–Лейбніца також обмежуються.
|