Невласні інтеграли II роду.

Розглянемо тепер функцію , яка визначена на півінтервалі , і нехай виконана умова:

(9.1)

Точку будемо називати особливою точкою функції . У цій точці графік функції має вертикальну асимптоту (рис. 6).

Рис. 6.

Нехай функція інтегровна на будь якому проміжку , де .

Означення. Невласним інтегралом II роду від функції називається границя:

. (9.2)

Якщо границя (9.2) існує і скінченна, то інтеграл називається збіжним, у протилежному випадку – розбіжним.

Якщо особливою точкою функції є точка , то:

. при умові, що функція інтегровна на проміжку , де також .

Нарешті, якщо особливою точкою є деяка точка всередині проміжку , то за означенням покладають:

. (9.3)

Якщо існують окремо скінченні границі

то інтеграл у лівій частині рівності (8.8.3) називається збіжним, а якщо хоч би одна з цих границь не існує, або нескінченна – розбіжним.

Якщо особливими являються точки і , то за означенням:

, де – довільна точка інтервалу . Інтеграл у лівій частині рівності буде збіжним тоді і тільки тоді, коли збіжні обидва інтеграли у правій частині рівності.

З геометричної точки зору інтеграл II роду (9.2) також, як і невласний інтеграл I роду, виражає площу нескінченної фігури (рис. 7).

Рис. 7.

Але якщо у випадку інтеграла I роду нескінченність, так кажучи, відносно осі (рис. 5), то тут – відносно осі . Фактично це така ж сама нескінченна криволінійна трапеція, тільки повернута на кут 90 градусів. А це свідчить про те, що між невласними інтегралами I та II роду існує певний зв’язок. Дійсно, нехай, наприклад, особливою точкою функції є точка . Тоді

.

У останньому інтегралі позначимо:

.

Якщо , то очевидно , і ми отримуємо:

.

Таким чином звели невласний інтеграл II роду до невласного інтегралу I роду.

Приклади. Дослідити на збіжність і у випадку збіжності обчислити інтеграли.

1) .

У даному прикладі особливою є точка . Маємо:

.

Отже інтеграл збіжний, і його значення дорівнює .

2) .

Особливою є точка , оскільки . Маємо:

Отже інтеграл розбіжний.

3) Встановити, для яких значень параметра інтеграл збігається, а дл яких розбігається:

.

Якщо , то інтеграл не є невласним, оскільки підінтегральна функція буде обмеженою на відрізку . Отже залишилось дослідити випадок . Тоді особливою точкою буде точка . Нехай спочатку . Маємо:

, отже інтеграл розбіжний. Нехай тепер . Тоді:

Отже інтеграл збігається, якщо , і розбігається, якщо .

Повернемось до прикладу, який ми розглянули в п. 6, а саме до інтегралу

.

Ми встановили, що безпосереднє використання формули Ньютона – Лейбніца приводить до абсурдного результату – інтеграл дорівнює від’ємному числу, хоча зобов’язаний бути додатним. Тепер ми можемо сказати, що цей інтеграл невласний – особливою є точка , яка належить інтервалу . Розіб’ємо цей інтеграл на два інтеграли

, де

, .

Оскільки, як було встановлено в прикладі 3), інтеграл розбіжний, то розбіжним буде й інтеграл . Таким чином про його обчислення взагалі не може йти мова.