Ознаки збіжності невласних інтегралів. I.

У багатьох випадках встановлювати збіжність інтеграла шляхом його безпосереднього обчислення досить складна задач. Тому якщо треба встановити тільки сам факт збіжності чи розбіжності, користуються деякими достатніми умовами збіжності.

Теорема 1. Нехай функція . Тоді для збіжності невласного інтеграла I роду необхідно і достатньо, щоб функція була обмежена зверху, тобто , : .

Доведення. Достатність. Нехай обмежена зверху. Оскільки , то є неспадною, тобто монотонною. На підставі теореми про границю монотонної та обмеженої функції, існує , тобто інтеграл збіжний.

Необхідність. Нехай інтеграл збіжний, тобто існує . Тоді на підставі тієї ж теореми про існування границі монотонної та обмеженої функції маємо: , і тоді : , тобто функція обмежена зверху.

Теорема 2. Якщо на проміжку функції та неперервні, та , то зі збіжності інтеграла

(10.1) випливає збіжність інтеграла

, (10.2) а з розбіжності інтеграла (10.2) випливає розбіжність інтеграла (10.1).

Доведення. I. Оскільки функції та неперервні на , вони інтегровні на будь якому проміжку , де . Оскільки , то на підставі властивості 9 інтеграла маємо, що :

.

Оскільки інтеграл (10.1) збігається, то за теоремою 1 функція обмежена зверху, а тоді обмежена зверху й функція . Тоді на підставі теореми 1 існує , тобто інтеграл (10.2) збіжний.

II. Якщо інтеграл (10.2) розбіжний, то розбіжним буде і інтеграл (10.1), оскільки в протилежному випадку на підставі I інтеграл був би збіжним.

Теорема 3. Якщо , , та існує границя

, то інтеграли (10.1), (10.2) водночас обидва збігаються, або водночас розбігаються.

Доведення. Нехай збігається інтеграл (10.1). З умови теореми маємо:

виконано . Або, що те ж саме: , звідки маємо , якщо тільки .

Оскільки

, то інтеграл збіжний. Отже збіжний і інтеграл . Тоді за теоремою 2 є збіжним інтеграл , а оскільки

, то інтеграл (10.2) збіжний.

Переписавши умову теореми у вигляді:

, де , отримаємо, що із збіжності інтеграла (10.2) випливає збіжність інтеграла (10.1). Таким чином інтеграли (10.1) та (10.2) збігаються та розбігаються водночас, а отже вони водночас і розбігаються.

Теореми, аналогічні теоремам 1 – 3, мають місце і для невласних інтегралів II роду.

Приклади.

1. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

, а оскільки інтеграл

збігається (це інтеграл для ), то згідно з теоремою 1 збігається і наш інтеграл.

2. Встановимо збіжність дуже важливого інтеграла Пуассона^*:

.

Зауважимо, що , де

.

– це інтеграл від обмеженої функції на скінченному проміжку, і оскільки функція неперервна, інтеграл існує у власному розумінні. Стосовно другого інтеграла маємо: , а оскільки

, тому цей інтеграл збіжний, отже збіжний за теоремою 1 інтеграл , а звідси випливає збіжність інтеграла .

3. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Маємо:

, і оскільки інтеграл

розбіжний (це інтеграл при ), то внаслідок теореми 2 розбіжний і наш інтеграл.

4. Дослідити на збіжність інтеграл

.

Особливою точкою є точка . Оскільки

, то збіжність даного інтегралу рівносильна збіжності інтегралу . Тому розглянемо:

, тобто інтеграл розбіжний. А отже розбіжний і початковий інтеграл.

5. З’ясувати, при яких значеннях параметрів збігається, а при яких

розбігається інтеграл:

.

Розглянемо три можливі випадки: .

1) . Тоді , де . Запишемо підінтегральну функцію у ви-

гляді:

, де .

Оскільки при та , то існує число таке, що виконано: . Тому при : .

Інтеграл при збіжний, отже за теоремою 2 збіжний й інтеграл , а тоді збіжний й інтеграл .

Таким чином, якщо , то інтеграл збіжний .

2) . Тоді

.

Цей інтеграл збіжний при і розбіжний при (приклад 5, п. 8).

3) . Тоді , . Подамо підінтегральну функцію у вигляді:

, де .

Маємо:

, отже існує число таке, що при : . Тому при : .

Інтеграл при розбіжний, отже за теоремою 2 розбіжним буде й інтеграл , а тоді розбіжним буде й інтеграл .

Таким чином інтеграл збігається при ( будь яке), при , , і розбігається при всіх інших .

6. Дослідити на збіжність інтеграл:

.

Цей невласний інтеграл II роду має дві особливі точки та .

Подамо інтеграл у вигляді , де

, ,

, і дослідимо окремо збіжність кожного з цих інтегралів.

а) .

Зробимо заміну змінної . Тоді, якщо , то , і при : ; , , і інтеграл II роду перетворюється на інтеграл I роду:

.

Розглянемо інтеграл

.

При : . Інтеграл збіжний, він дорівнює . Тоді за теоремою 2 збіжний й інтеграл , отже збіжний й інтеграл .

б) .

При : , тобто . Розглянемо

інтеграл

,

отже за теоремою 3 є розбіжним інтеграл . А тоді інтеграл також розбіжний.