Приклад 24

Обчислити невласний інтеграл першого роду: .

Розв’язання

У цих прикладах інтеграл по нескінченному проміжку обчислювався за допомогою первісної функції, а потім здійснювався граничний перехід. Ці два моменти можна поєднати, застосувавши основну формулу інтегрального числення.

Нехай функція визначена на проміжку та інтегрована у кожній його частині . Якщо для існує первісна на всьому проміжку , то за формулою Ньютона-Лейбніца.

Звідси зрозуміло, що невласний інтеграл існує тільки у тому випадку, якщо існує скінчена границя і тоді

Аналогічно

Остання формула означає, що для збіжності невласного інтеграла повинні існувати обидві скінчені границі та

При розгляданні невласних інтегралів перш за все треба з’ясувати питання про збіжність невласного інтеграла. Більше того, у багатьох задачах, пов’язаних з невласними інтегралами, немає необхідності в їх обчисленні, а достатньо знати, збіжний інтеграл чи ні.