Приклад 22

Обчислити

Розв’язання

Введемо нову змінну , тоді . Нові межі інтегрування:

Обчислюємо інтеграл:

=

9. Невласні інтеграли

Невласними інтегралами є:

1) інтеграли з нескінченними границями інтегрування (невласні інтеграли першого роду);

2) інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду);

Невласний інтеграл першого роду позначається так:

або , або

Означення невласного інтеграла здійснюється за допомогою граничного переходу:

або

Якщо існують скінченні границі справа, то відповідний невласний інтеграл збігається, в протилежному випадку – інтеграл розбігається (кажуть також, що інтеграл збіжний або розбіжний).

Геометрично невласний інтеграл першого роду

у випадку , є площа фігури, що обмежена графіком функції , прямою та віссю .

Аналогічно вводиться поняття невласного інтеграла по нескінченному проміжку:

де та прямують до своїх границь незалежно один від одного. У цьому випадку, обравши будь-яке , можна записати так:

При цьому інтеграл збігається тоді і тільки тоді, коли обидва інтеграли, що стоять справа, збігаються.