Приклади 17-19

Знайти невизначені інтеграли.

17.

Розв’язання

Оскільки корені знаменника дійсні і різні, то дріб розкладається на суму двох найпростіших дробів першого типу: . Зведемо дроби до загального знаменника, одержимо рівність . Ця рівність виконується для будь-яких значень х. При х =3 маємо , звідки одержуємо А = . При маємо

Таким чином, даний інтеграл розкладаємо і обчислюємо:

18.

Розв’язання

Підінтегральна функція є правильним дробом, знаменник якого має дійсні корені, серед яких є кратні, тому розклад на найпростіші доби буде містити дроби І та ІІ типів.

Зводимо дроби до загального знаменника, одержуємо тотожність

Розкриємо дужки, прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях, одержимо систему лінійних рівнянь з невідомими А, B, D.

Розв’язавши систему, одержимо:

Обчислюємо інтеграл:

+

19.

Розв’язання

Підінтегральна функція є правильним раціональним дробом, знаменник якого має дійсний та пару комплексних коренів, тому розклад дробу на найпростіші буде містити найпростіші дроби І, ІІІ типів.

Звідси . Використавши метод невизначених коефіцієнтів, знаходимо коефіцієнти:

Отже,

Остаточно маємо:

5. Визначений інтеграл як границя інтегральних сум

Нехай функція задана на відрізку . Розіб’ємо цей відрізок на n частин:

У кожному проміжку довжиною оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції .

Побудуємо суму , яку називають інтегральною сумою для функції на відрізку .

Означення 5. Якщо існує скінчена границя інтегральної суми при , незалежна від способу ділення відрізка на частини та добору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається .

Математично це означення можна записати так:

(1)

Відмітимо, що числа a та b називають нижньою та верхньою межами інтегрування, відповідно.