Передмова. Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу ІЕНТ і авторів заборонено.

I курс, 2 семестр.

Кременчук

Розповсюдження і тиражування без офіційного дозволу ІЕНТ і авторів заборонено.

Методичні рекомендації до самостійного вивчення вищої математики на економічному факультеті

(Розділ VІ. Інтегральне числення функції однієї змінної. I курс, 2семестр).

Укладач: Тристан Віктор Миколайович, старший викладач.

Рецензент: Семенов В.О, кандидат фізико-математичних наук, професор.

Комп’ютерна верстка: Тристан А.В.

Відповідальний за випуск: професор Семенов В.О.

Методичні рекомендації розглянуті та рекомендовані до видання на засіданні кафедри прикладної математики та математичного моделювання від 30 серпня 2003р., протокол № 1

Наклад 200 примірників

Передмова

Методичні рекомендації адресовані студентам економічного факультету, які навчаються за спеціальностями „Облік та аудит” і „Маркетинг” стаціонарно та заочно. Вони містять необхідний теоретичний матеріал і розв’язання типових задач VІ розділу курсу вищої математики для економістів „Інтегральне числення функції однієї змінної”. що вивчається в другому семестрі.

Мета методичних рекомендацій полягає у тому, щоб допомогти студентам засвоїти цей розділ курсу вищої математики та набути навичок самостійної роботи при розв’язуванні задач.

Методичні рекомендації містять завдання контрольної роботи в 34 варіантах.

З метою самоконтролю за вивченням курсу до методичних рекомендацій внесено питання для підготовки до екзамену.

Методичні вказівки містять список рекомендованої літератури.

І. Основні питання, що вивчаються в розділі

1. Означення первісної та невизначеного інтеграла.
2. Властивості невизначеного інтеграла.
3. Таблиця інтегралів.
4. Методи інтегрування.

4.1. Безпосереднє інтегрування.

4.2. Метод заміни змінної(підстановки).

4.3. Інтегрування частинами.

4.4. Інтегрування найпростіших раціональних дробів.

1. Означений інтеграл як границя інтегральних сум.
2. Властивості визначеного інтеграла.
3. Формула Ньютона - Лейбниця.
4. Обчислення визначеного інтеграла.
5. Невласні інтеграли.
6. Використання визначеного інтеграла.

10.1. Обчислення площ криволінійних трапецій.

10.2. Обчислення довжини кривої на площині.

10.3. Обчислення об’єму тіла обертання.

10.4. Розв’язування задач економічного змісту.

ІІ. Основні теоретичні відомості. Приклади розв’язання задач

1. Означення первісної та невизначеного інтеграла

Означення 1. Функція називається первісною для функції , якщо (або ). Якщо функція – первісна для функції , то всі функції, , де С – довільна стала, теж первісні функції .

Означення 2. Вираз , де похідна функції , а С – довільна стала, називається невизначеним інтегралом від функції і позначається Операція знаходження первісної для даної функції називається інтегруванням функції.

Теорема 1

Якщо функція неперервна на відрізку , то вона має первісну.

У подальшому будемо розглядати підінтегральні функції тільки на відрізках їх неперервності, тому теорема звільняє від необхідності кожного разу досліджувати умови існування інтеграла. Інтеграли, які ми розглядаємо, існують. При цьому існують елементарні функції, первісні яких не виражаються за допомогою скінченого числа елементарних функцій.

2. Властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

3. Невизначений інтеграл від диференціала функції дорівнює цій функції плюс довільна стала: .

4. Невизначений інтеграл від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі інтегралів від функцій.

5. Сталий множник можна винести за знак інтеграла:

6. Якщо – первісна для функції , то

7. Якщо і – диференційована функція, то

3. Таблиця інтегралів

Таблиця основних інтегралів випливає із означення невизначеного інтеграла і таблиці похідних. Справедливість формул легко перевірити диференціюванням.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

4. Методи інтегрування

4.1. Безпосереднє інтегрування

Обчислення невизначеного інтеграла з використанням таблиці інтегралів та властивостей інтегралів називають безпосереднім інтегруванням. Для обчислення використовують тотожні перетворення підінтегральної функції, щоб звести інтеграл до табличного. Цей метод базується на рівності де а та b – сталі, й застосовується у тих випадках, коли підінтегральна функція має вигляд однієї із підінтегральних функцій табличних інтегралів, але аргумент відрізняється від змінної інтегрування постійним доданком або постійним множником, або постійним доданком і множником.