Формула прямоугольников.

Численное интегрирование.

Для приближённого вычисления определённого интеграла разобьём отрезок интегрирования [ a, b ] на n равных частей точками x₀=a, x ₁₌ x ₀+ h, …, x_{i+ 1}= x_i+h, …, x_n=b

(h - шаг разбиения, ).Значения функции f (x) в точках разбиения x_i обозначим y_i. Непрерывная подинтегральная функция y=f (x) заменяется сплайном (кусочно-полиномиальной функцией) S (x), аппроксимирующей данную функцию. Интегрируя функцию на отрезке [ a, b ], придём к некоторой формуле численного интегрирования (квадратурной формуле).

В зависимости от функции S (x), аппроксимирующей подинтегральную функцию, будем получать различные квадратурные формулы.

Формула прямоугольников.

Если на каждой части [ x_{i- 1}, x_i ], i= деления отрезка [ a, b ] функцию f (x) заменить функцией, принимающей постоянное значение, равное, например, значению функции f (x) в серединной точке i -й части, то есть то функция S (x) будет иметь ступенчатый вид:

.

В этом случае и получаем квадратурную формулу прямоугольников

(1).

Пример. Найти приближённое значение интеграла по формуле прямоугольников.

Решение. Пусть n =10.Тогда x ₀ = 0, …, x ₁₀=1.

,

=

Погрешность квадратурной формулы оценивается величиной остаточного члена R (h), зависящего от шага разбиения h (или от числа разбиений n).

y       f (0) f (h)   O a b x

На одном (первом) отрезке разбиения имеем: где 0£ с £ h. Если то проинтегрируем неравенство на отрезке [0, h ]:

Но легко заметить, что тогда откуда (переходя от h к x) получим: , где , то есть, уже на всем отрезке [ a, b ]. Таким образом получаем общую погрешность на [ a, b ]

(так как hn= b - a).