Несобственных интегралов.

Рассмотрим интегралы вида:

(1), (2), (3).

Для случая (3) функция f (x) имеет бесконечный разрыв либо в точке x=a, либо x=b, либо x=c Î [ a, b ]. Вычисляемые несобственные интегралы при этом предполагаются сходящимися.

Одним из источников получения численных значений несобственных интегралов (1) и (2) являются квадратурные формулы вида: (Гаусса-Кристоффеля). Для их применения нужно выделить под интегралом подходящую весовую функцию и воспользоваться соответствующей квадратурой.

Тогда для интеграла (1): - формула Лагерра, где , L_{n- 1}- n- 1-ый многочлен Лагерра.

Аналогично, для интеграла (2) имеем: - формула Эрмита, где , H_{n -1}- n -1-вый многочлен Эрмита.

К вычислению интегралов с бесконечной верхней границей можно применять различные формулы численного интегрирования, пользуясь равенством, определяющим несобственный интеграл: . Оно позволяет считать, что для достаточно больших значений b выполняется и вычислять интеграл с помощью известных квадратурных правил. предполагая исходный интеграл абсолютно сходящимся, величину абсолютной погрешности, то есть , за счет увеличения b можно сделать как угодно малой.

В случае (2) без ограничения общности можно считать, что подынтегральная функция имеет особенность на границе промежутка интегрирования, то есть если точкой c, где f (x) обращается в бесконечность, окажется внутренняя точка интервала (a, b), то данный интеграл можно представить символически как . Также без потери общности, достаточно рассматривать . Но к таким интегралам, в которых подынтегральная функция имеет особыми точками значения -1 и (или) 1, можно применить квадратурную формулу Эрмита (Мелера) в виде = или более общую формулу, где параметры a > -1, b > -1 желательно подобрать так, чтобы функция была как можно более гладкой. Такой прием при вычислении несобственных интегралов называют мультипликативным выделением особенностей. Существует несколько специальных квадратурных формул, позволяющих " загнать" в весовые функции различные типы особенностей: степенную, логарифмическую и другие.

Применяются и другие приемы вычисления несобственных интегралов. Надо отметить, что иногда достаточно сделать удачную замену переменной, чтобы преобразовать несобственный интеграл к более подходящему для вычисления виду.