Формула Симпсона (парабол).

y B C A -h O h x

Рассмотрим точки A (-h, y- 1), B (0, y 0), C (h, y 1). Уравнение параболы, проходящей через эти точки: y=a+bx+cx 2 (1)

Площадь параболы, проходящей через точки A, B, и С вычисляется по формуле: (2).

Из (1), сложив первое и третье равенства, найдём: откуда 2 ch ²= y _-1-2 y ₀+ y ₁ и тогда .

Рассмотрим теперь функцию y=f (x), заданную на [ a, b ]. Требуется вычислить Разобьём отрезок [ a, b ] на 2 n отрезков a=x ₀< x ₁< …< x _{2 n}=b. Заменим дугу кривой y=f (x) () параболой, проходящей через эти точки и тогда

y C B A   y 0 y 1 y 2 O a=x 0 x 1 x 2 b=x 2 n x

площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, будет вычисляться по формуле: . Вычислим площадь следующей криволинейной трапеции на [ x 2, x 4]: и так далее. Искомая площадь будет приближённо равна:

Оценка погрешности для формулы Симпсона (без вывода):

Пример 1. Найти приближённое значение интеграла с помощью квадратурных формул прямоугольников, трапеций и Симпсона, если отрезок [0, 1] разбит на 10 равных частей.

Решение:

.

При n =10 получим следующие оценки величин погрешности результатов:

Пример 2. Вычислить интеграл . по формуле Симпсона.

Решение: Возьмём .

.Тогда .