Аналог формулы трапеций.

а) Рассмотрим двойной интеграл , если область D – прямоугольник . Тогда для приближенного вычисления двойного интеграла справедлива формула

, (18)

где .

Эта формула дает приближенное значение двойного интеграла с избытком, если выполнено условие (15).

Оценка погрешности формулы (18) определяется неравенством

(19)

б) Разобьем область D прямыми параллельными осям координат, на mn равных прямоугольников. Вычисляя двойной интеграл по каждому элементарному прямоугольнику с помощью формулы (18) и суммируя полученные результаты, приходим к следующей формуле для приближенного вычисления двойного интеграла:

, (20)

где - сумма значений функции в вершинных прямоугольника - сумма значений функции в узлах, лежащих на сторонах прямоугольника, не считая вершин; - сумма значений функции в узлах, лежащих внутри прямоугольника.

При выполнении условий (15) по аналогии с неравенством (19) получаем оценку

, (21)

где .

Для оценки погрешности приближенного равенства (20) также справедлива неравенство (14).

в) Если область D ограничена линиями x=a, x=b, , , то в качестве приближенного значения двойного интеграла можно рассматривать среднее арифметическое результатов приближенных вычислений двойного интеграла по формулам (4), (6), (7) и (8):

, (22)

где (i= 0, 1, 2, …, m -1) вычисляется по формуле (3), а значение z_ij – по формулам (5). Формулы (4), (6), (7), (8) и (22) целесообразно использовать в тех случаях, когда точное или приближенное вычисление площадей не вызывает особых затруднений.