Аналог формулы касательных.

а) Рассмотрим двойной интеграл . Пусть область D – прямоугольник , во всех точках которого выполнены условия: , , (15)

где , , . Эти условия обеспечивают выпуклость поверхности z=f (x, y) во всех точках области D (аналогично образом условия АС - В ²> 0, A > 0, C > 0 обеспечивают вогнутость этой поверхности).

Тогда для приближенного вычисления двойного интеграла справедлива формула

, (16)

где .

б) Разобьем область D прямыми

x=x_i ( i =0, 1, 2, …, m) и y=y_j (j= 0, 1, 2, …, m)

на mn равных прямоугольников. Вычисляя двойной интеграл по каждому элементарному прямоугольнику с помощью формулы (16) и суммируя полученные результаты, приходим к следующей формуле для приближенного вычисления двойного интеграла:

, (17)

где .

Формула (17) дает приближенное значение двойного интеграла с избытком, если выполнены условия (15). Заметим, что формулой (17) можно пользоваться и в том случае, когда первое из условий (15) не выполнено. Однако в этом случае нельзя указать, найдено ли приближенное значение двойного интеграла с недостатком или с избытком.