Аналог формул Симпсона.

а) Рассмотрим случай прямоугольной области D, заданной неравенствами . Подберем коэффициенты многочлена третьей степени

P ₃(x, y)= a ₃₀ x ³+ a ₂₁ x ² y + a ₁₂ xy ²+ a ₀₃ y ³+ a ₂₀ x ²+ a ₁₁ xy + a ₀₂ y ²+ a ₁₀ x + a ₀₁ y + a ₀₀

так чтобы в специальным образом выбранных пяти точках (узлах) значения функции f (x, y)и многочлена P ₃(x, y)совпали. Тогда

.

Учитывая, что , если , получим формулу

. (23)

Если выбрать узлы так, как показано на рисунках 77 и 78, то формулу (23) можно записать соответственно в виде

(24)

или

. (25)

Для прямоугольника формулы (24) и (25) соответственно примут вид

, (26)

(27)

Формулы (26) (27) тем точнее, чем меньше размеры прямоугольника; как следует из изложенного, они точны для многочленов третьей степени.

б) Разбивая прямоугольник прямыми, параллельными осям координат, на 4mn равных прямоугольников, применяя к каждому такому прямоугольнику формулу (26) и суммируя полученные результаты, приходим к формуле

, (28)

где, S ₀ =f (a, c)+ f (a, d)+ f (b, c)+ а (b, d),

,

.

Если в предыдущих рассуждениях использовать формулу (27), то

, (29)

где, ,

.

Формулы (25) – (28) дают точный результат, если подынтегральная функция является многочленом выше третьей степени от переменных x, y, т. е. .

в) Пусть область D определена прямой x₁=(x₀+x₂)/ 2, неравенствами

. и линией . разобьем область D на четыре части. Обозначим . Как и ранее, f (x_i, y_ij) =z_ij (i= 0, 1, 2). Рассмотрим .

Применяя несколько раз малую формулу Симпсона, в результате получим следующее приближенное равенство:

. (30)

Заметим, что если , то формула (30) принимает вид

. 31)

В частности, формула (31) справедлива, если областью интегрирования D является прямоугольник со сторонами, параллельными осями координат. В этом случае

. (32)

Формула (30) дает точный результат, если подынтегральная функция является многочленом третьей степени относительно y при фиксированном x и результат вычисления внутреннего интеграла – многочленом не выше третьей степени по x. Формула (32) точна, если - многочлен третьей степени относительно x при фиксированном y (или относительно y при фиксированном x).

г) Если областью интегрирования D является круг с центром в начале координат и радиусом r, то для приближенного вычисления двойного интеграла целесообразно перейти к полярным координатам:

.

Разделим прямоугольник в плоскости прямыми и на четыре равные части. Вычислив значение подынтегральной функции в узлах и применив последовательно формулы (24) и (26), соответственно получим

, (33)

, (34)

где, - площадь круга. Формулы (33) и (34) точны, если - многочлен не выше третьей степени относительно и .

Используя формулу (32), получим

. (35)

Эта формула точна, если функция является многочленом не выше третьей степени относительно при фиксированном (или относительно при фиксированном ).

д) Если область интегрирования ограничена эллипсом , то с помощью преобразования координат по формулам двойной интеграл можно переписать так:

.

Формулы (24), (25) и (32) для такой области соответственно примут вид

, (36)

, (37)

, (38)

где - площадь эллипса.