Решение уравнений гиперболического типа методом сеток

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков решения уравнений гиперболического типа методом сеток.

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим смешанную задачу для уравнения колебаний струны, которая заключается в отыскании функции , удовлетворяющей уравнению

начальным условиям

и краевым условиям

Построим в полуполосе два семейства параллельных прямых

Заменяя во всех внутренних узлах сетки производные разностными отношениями, вместо уравнения будем иметь

где .

Обозначив , получим разностное уравнение

Уравнение аппроксимирует уравнение с погрешностью .

Разностная схема является явной, т.к. уравнение позволяет найти значения функции на слое , если известны значения на двух предыдущих слоях и .

Доказано, что при эта разностная схема устойчива.

При уравнение имеет наиболее простой вид

Краевые условия используются для нахождения значений функции в граничных узлах, лежащих на прямых и :

Чтобы найти приближенное решение задачи , необходимо знать значения решения на двух начальных слоях. Их можно найти, например, заменив, в начальном условии производную разностным отношением

Тогда для определения значений на слоях и , получаем

При этом значения определяются с погрешностью .

Если функция имеет конечную вторую производную, то значения можно определить с помощью формулы Тейлора:

Используя уравнение и начальные условия , можем записать

Тогда будем иметь

Погрешность значений , полученных по этой формуле, имеет порядок .

III ЗАДАНИЕ

Методом сеток найти решение задачи:

где - последняя цифра в номере группы; - номер фамилии студента в журнале группы.