Интегралов методом последовательного интегрирования

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков приближенного вычисления кратных интегралов.

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Построим кубатурную формулу, предназначенную для приближенного вычисления двойных интегралов

Рассмотрим метод последовательного интегрирования.

Пусть область интегрирования представляет собой прямоугольник Разобьем область на прямоугольные ячейки (рис. 1).

оо

Интеграл вычислим последовательным интегрированием:

где

Каждый однократный интеграл вычисляется на выбранной сетке по какой-либо квадратурной формуле типа

Последовательное интегрирование по обоим направлениям приводит к кубатурным формулам, которые являются прямым произведением одномерных квадратурных формул

или

где

Для разных направлений можно использовать квадратурные формулы одного или разных порядков точности.

Если область имеет произвольную форму, то в следует провести хорды, параллельные оси (рис. 2).

Рис. 2

На каждой хорде выбираются узлы так, как нам требуется. Интеграл представим в виде

Сначала вычислим интеграл по вдоль каждой хорды по какой-либо квадратурной формуле, используя введенные узлы. Затем вычислим интеграл по , используя какую-либо квадратурную формулу. При этом узлами будут служить проекции хорд на ось ординат.

III. ЗАДАНИЕ

Методом последовательного интегрирования вычислить интеграл по области , изображенной на рис. 3.

Рис. 3

Варианты заданий приведены в лабораторной работе №13.

Указание: При построении кубатурной формулы методом последовательного интегрирования использовать квадратурную формулу трапеций при интегрировании по обоим направлениям. Указать погрешность вычисления интеграла (1).