Применение разностного метода для решения обыкновенного дифференциального уравнения с краевыми условиями

І. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

ІІ. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

с двухточечными линейными краевыми условиями

где - известные непрерывные на отрезке функции; - заданные постоянные, причем и .

Согласно методу конечных разностей введем на равномерную сетку с шагом :

Заменим приближенно в каждом внутреннем узле производные и конечно-разностными отношениями

а на концах отрезка положим

где .

Погрешность формул есть , а формул .

Используя формулы и , приближенно заменим уравнение и краевые условия системой разностных уравнений

Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, получим таблицу значений искомой функции .

Система может быть решена различными методами. Однако замечаем, что она имеет трехдиагональную матрицу. Поэтому для решения системы воспользуемся методом прогонки.

Уравнение запишем в виде

где .

Положим, что

где - некоторые коэффициенты.

Отсюда находим

Подставим в уравнение . Получим Сравнивая формулы и , получаем рекуррентные формулы для определения и :

Определим теперь и . Из первого равенства получаем

С другой стороны, из формулы имеем

Сравнивая последние два равенства, находим

По формулам и осуществляется прямой ход. При этом находятся коэффициенты .

Обратный ход начинается с определения .

Используя второе равенство и формулу при , получим систему двух уравнений, решая которую найдем

Теперь по формуле определим .

Метод прогонки обладает устойчивым вычислительным алгоритмом.

III. ЗАДАНИЕ

Методом конечных разностей решить следующую краевую задачу:

Здесь - последняя цифра номера группы; - номер фамилии студента в журнале.