Интегралов методом ячеек

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков приближенного вычисления кратных интегралов.

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Построим кубатурную формулу, предназначенную для приближенного вычисления двойных интегралов

Рассмотрим метод ячеек.

Пусть область интегрирования представляет собой прямоугольник Разобьем область на прямоугольные ячейки (рис. 1).

оо

Используя формулу средних для вычисления интеграла по каждой ячейке и обозначая через соответственно площадь ячейки и координаты ее центра, получим

Для любой непрерывной функции интегральная сумма сходится к значению интеграла, когда периметры всех ячеек стремятся к нулю.

Если стороны прямоугольника разбиты соответственно на и равных частей, то погрешность обобщенной формулы (2)

В случае, когда область не является прямоугольником, на нее следует наложить прямоугольную сетку (рис. 2).

Рис. 2

Ячейки, которые полностью лежат в области , называются внутренними. Ячейка называется граничной, если часть ее принадлежит , а часть находится вне . Площадь внутренней ячейки равна произведению ее сторон. Площадью граничной ячейки будем считать площадь той ее части, которая принадлежит . Эту площадь вычислим приближенно, заменяя истинную границу на хорду. Указанные выше площади подставим в формулу и найдем приближенное значение интеграла.

ЗАДАНИЕ

Методом ячеек вычислить интеграл по области , изображенной на рис. 3.

Рис. 3

Варианты заданий

Номер варианта

Здесь - последняя цифра номера группы.