Интерполирование кубическими сплайнами

II. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков использования интерполяционных сплайнов.

III. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Пусть на в узлах сетки заданы значения некоторой функции

Для интерполирования функций воспользуемся кубическими сплайнами дефекта 1, которые обозначим На каждом из промежутков сплайн записывается в виде

Причем

Рассмотрим два алгоритма построения интерполяционных кубических сплайнов, удовлетворяющих условиям

Введем обозначение

Решая систему уравнений

Найдем коэффициенты

В результате выражение примет вид

где

Кубический сплайн , записанный в терминах , на каждом из промежутков непрерывен вместе со своей первой производной всюду на Выберем величины так, чтобы была непрерывна и вторая производная сплайна. Условие

дает уравнений для нахождения

где

К уравнениям следует присоединить еще два уравнения, являющихся краевыми условиями. Из полученной системы уравнений находятся значения величин которые подставляются в выражение для интерполяционного сплайна

Если ввести обозначение и коэффициенты найти как решение системы уравнений

то на каждом интерполяционный кубический сплайн в терминах будет представляться выражением

При этом сплайн и его вторая производная будут непрерывны на Выберем величины так, чтобы была непрерывна и первая производная сплайна. Условие

дает уравнений

где

К уравнениям следует присоединить два краевых условия. Из полученной системы уравнений находятся значения которые подставляются в выражение

На практике наиболее употребительными являются краевые условия следующих типов:

I.

II.

III.

IV.

IV. ЗАДАНИЕ

С помощью интерполяционных кубических сплайнов, записанных в терминах и , вычислить значения функции в точках Таблица значений функции приведена в лабораторной работе № 9.

Использовать следующие краевые условия

Указания:

1. При использовании сплайнов, записанных в терминах к уравнениям присоединить следующие уравнения:

где

2. При использовании сплайнов, записанных в терминах к уравнениям присоединить следующие уравнения:

3. Cистемы и являются системами с трехдиагональной матрицей. Осуществить их решение методом прогонки.