Матрицы методом Крылова

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков отыскания собственных значений матрицы.

II. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Рассмотрим один из методов развертывания характеристических определителей – метод Крылова.

Характеристический многочлен матрицы A имеет вид

. (1)

Согласно теореме Гамильтона-Кели матрица A обращает в ноль свой характеристический многочлен

. (2)

Возьмем произвольный ненулевой вектор . Умножая равенство (2) на этот вектор, получим

. (3)

Положим

(). (4)

Тогда равенство (3) приобретает вид

, (5)

где ().

Векторное равенство (5) эквивалентно системе уравнений

(). (6)

На основании формулы (4) имеем

Поэтому

(; ). (7)

Таким образом, коэффициенты системы (6) вычисляются по формулам (7). Из системы линейных алгебраических уравнений (6) определяем неизвестные ().

Определив коэффициенты (), получим выражение для характеристического многочлена матрицы A. Теперь можем найти корни характеристического уравнения

,

которые являются собственными значениями матрицы A.

III. ЗАДАНИЕ

Построить характеристический многочлен матрицы A. Найти его корни.

Матрица A имеет элементы

где - номер фамилии студента в журнале группы; - последняя цифра номера группы.