Решение систем с трехдиагональной матрицей методом прогонки

I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков решения систем с трехдиагональной матрицей.

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Наиболее важным частным случаем метода Гаусса является метод прогонки, применяемый к системам с трехдиагональной матрицей.

Трехдиагональной называется матрица, у которой ненулевые элементы имеются только на главной диагонали и на примыкающих к ней диагоналях, т.е. при . Такие системы часто встречаются при решении краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка.

Системы с трехдиагональной матрицей обычно записываются в каноническом виде:

Формула (1) называется разностным уравнением второго порядка или трехточечным уравнением. В этом случае прямой ход без выбора главного элемента сводится к исключению элементов . Получается треугольная система, содержащая в каждом уравнении только два неизвестных и . Поэтому формулы обратного хода имеют следующий вид:

Уменьшим в (2) индекс на единицу и подставим в уравнение (1). Получим

Отсюда имеем

Сравнивая выражения (2) и (3), получаем

Формулы (4) - это формулы прямого хода.

Для проведения расчета формально требуется задать величины и , которые неизвестны. Однако перед величинами и в формуле (4) стоит коэффициент . Поэтому можно начать вычисления, полагая, например, . В формуле (2) перед стоит множитель , который на основании первой из формул (4) равен нулю, т.к. . Поэтому можем положить, например, .

Таким образом, для решения системы (1) выполняется сначала прямой, а затем обратный ход по формулам (4) и (2). Если выполнено условие преобладания диагональных элементов:

причем хотя бы для одного имеет место неравенство, то в формулах прямого хода (4) не возникает деления на нуль, и тем самым система (1) имеет единственное решение.

При выполнении условия (5) формулы прогонки устойчивы относительно ошибок округления и позволяют успешно решать системы уравнений с несколькими сотнями неизвестных.

Условие (5) является достаточным, но не необходимым условием устойчивости прогонки. На практике для хорошо обусловленных систем типа (1) прогонка часто оказывается достаточно устойчивой даже при нарушении условия преобладания диагональных элементов.

III ЗАДАНИЕ

Найти решение системы методом прогонки

где - номер фамилии студента в журнале группы;

- последняя цифра индекс номера группы.