Итерации

II. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков нахождения с заданной погрешностью корней нелинейного уравнения.

III. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Требуется найти корни уравнения

, (1)

где - непрерывная функция.

Заменим исходное уравнение эквивалентным ему уравнением .

Выберем некоторое нулевое приближение и вычислим дальнейшие приближения по формуле

(). (2)

Если стремится к некоторому пределу , то этот предел есть корень исходного уравнения, т.е.

.

Исследуем условия сходимости. Если имеет непрерывную производную, тогда (по теореме Лагранжа)

, (3)

где точка лежит между точками и . Поэтому, если всюду на , то отрезок убывает не медленней членов геометрической прогрессии со знаменателем и последовательность сходится при любом начальном приближении .

Действительно, это видно из соотношений

.

Очевидно, чем меньше , тем быстрее сходимость. Успех метода зависит от того, насколько удачно выбрано .

Из выражения (3) видно, что, если , то итерации попеременно оказываются то с одной, то с другой стороны , так что корень заключен в интервале . Это надежная, хотя несколько грубая оценка. Но она неприменима, когда , когда итерации сходятся к корню монотонно, т.е. с одной стороны.

Можно показать, что итерации следует прекращать, если выполняется условие

, (4)

где - заданная точность.

Метод итераций имеет важное достоинство самоисправляемости. Ошибки вычислений в методе не накапливаются. Метод итераций устойчив даже к грубым ошибкам (сбоям ЭВМ), если только ошибка не выбрасывает очередное приближение за пределы области сходимости. Ошибочное приближение рассматривается как некоторое новое начальное.

IV. ЗАДАНИЕ

Найти методом итераций один из действительных корней уравнения с допустимой погрешностью .

Варианты задания приведены в лабораторной работе № 6.