Решение уравнений эллиптического типа методом сеток

І. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Приобретение навыков решения уравнений эллиптического типа методом сеток.

II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Требуется найти решение уравнение

(1)

в области , если

, (2)

где -граница области ; -заданная непрерывная функция.

Чтобы найти решение данной задачи методом сеток покроем область прямоугольной сеткой :

; ,

где -точка, лежащая внутри области; и - шаги сетки по и соответственно;

Заменим в узлах производные и конечно- разностными соотношениями

;

;

Тогда для каждого внутреннего узла сетки уравнение (1) заменится конечно-разностным уравнением вида

, (3)

где .

Границу данной области заменим границей сеточной области. Если узел сетки лежит на границе области , то значение в этом узле совпадает со значением в данной точке. Если же граничный узел не лежит на границе, то можно выполнить одну из следующих процедур:

1. Положить, что в данном узле функция равна значению функции в ближайшей точке границы, отстоящей от данного узла на расстояние по оси или

.

2. Для определения значения функции в граничном узле использовать линейную интерполяцию

,

где -соседний внутренний узел, причем , если лежит внутри области, и , если есть внешняя точка для области .

Выбор шагов производится в зависимости от конкретной задачи, но таким образом, чтобы при этом контур сеточной области как можно лучше аппроксимировал контур данной области .

От выбора зависит также величина остаточного члена при замене дифференциального уравнения (1) конечно-разностным уравнением (3). Следовательно, должны быть выбраны таким образом, чтобы этот остаточный член был меньше погрешности, допустимой при решении.

Особенно простой вид примет система (3) при :

(4)

Следовательно, чтобы решить задачу, надо выбрать шаг сетки, построить сеточную область, найти значения в граничных узлах сетки, записать систему алгебраических уравнений для внутренних и граничных узлов сетки, решить полученную полную систему любым методом (метод Гаусса, метод Зейделя и т.д.). При этом погрешность приближенного решения задачи Дирихле будет складываться из трех погрешностей: погрешности замены дифференциального уравнения разностным, погрешности аппроксимации граничных условий, погрешности решения системы уравнений.

При большом числе внутренних узлов решение системы уравнений затруднительно. Чтобы решить задачу Дирихле в данном случае, применяют процесс Либмана.

Для этого выбирают начальные приближения . Теоретически в качестве этих значений можно выбрать любую систему чисел. Практически, чтобы найти значения , решают задачу Дирихле с большим шагом, обычно с шагом , чтобы получить систему меньшего числа уравнений, принимая значения в граничных узлах равными значениям функции в ближайших точках границы. Значения функции во всех остальных внутренних узлах находят по формуле

.

Затем значения функции в граничных узлах исправляют по формулам линейной интерполяции, а значения функции во внутренних узлах исправляют по формулам

.

Процесс продолжается до тех пор, пока не совпадут значения функций в двух последовательных приближениях.

III. ЗАДАНИЕ

Найти решение уравнения

в области , если на границе области

Варианты заданий.

№
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.