Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Решение интегральных уравнений методом замены ядра на вырожденное
|
|
I. ЦЕЛЬ РАБОТЫ
Приобретение навыков решения интегральных уравнений.
II. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода.
Ядро 
называется вырожденным, если оно может быть представлено в виде конечной суммы
где функции 
и 
являются линейно независимыми.
Подставим ядро 
в уравнение 
. Получим
где
Подставим в формулу 
вместо 
выражение 
. Будем иметь
где 
Линейную систему 
перепишем в виде
где 
- символ Кронекера.
Если определитель системы 
отличен от нуля, то система имеет единственное решение. Решая систему , найдем коэффициенты 
. Подставляя найденные коэффициенты в выражение , получим строгое решение интегрального уравнения .
Когда ядро не является вырожденным, то можно получить приближенное решение интегрального уравнения , если заменить близким к нему вырожденным ядром
Существуют различные способы такой приближенной замены на 
.
Например, в качестве вырожденного ядра можно взять конечный отрезок ряда Тейлора, используя одну из следующих формул: 
При этом предполагается существование соответствующих непрерывных производных функции .
Непрерывное ядро можно аппроксимировать ядром , представляющим тригонометрический полином, с помощью конечного ряда Фурье. Кроме того, можно использовать интерполяционные полиномы, а также другие приемы замены ядра вырожденным ядром .
III. ЗАДАНИЕ
Методом замены ядра на вырожденное найти приближенное решение интегрального уравнения
Здесь 
- последняя цифра в номере группы; 
- номер фамилии студента в журнале группы.
IV. ОФОРМЛЕНИЕ ОТЧЕТА
В отчете должны быть представлены:
1. Название работы.
2. Постановка задачи.
3. Описание алгоритма (метода) решения.
4. Текст программы с описанием.
5. Результаты работы программы.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: БИНОМ. Лаборатория Знаний, 2007 636с.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы. -М.: Наука, 1978. 512 с.
3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. - М.: Наука, 1966. 632 с.