Область сходимости функционального ряда

ГЛАВА 2. Степенные ряды

Область сходимости функционального ряда

Пусть задана последовательность функций

с общей областью определения .

Определение. Функциональным рядом называется выражение

. (18)

При фиксированном функциональному ряду (18) соответствует числовой ряд

. (19)

При одних значениях этот числовой ряд может сходиться, при других — расходиться.

Определение. Совокупность всех тех значений , при которых числовой ряд (19) сходится, называется областью сходимости функционального ряда (18).

При определена функция — сумма числового ряда (19) в точке .

Примеры. 1. Пусть . Функциональный ряд

образован геометрической прогрессией со знаменателем . Как установлено в п.1.3. ряд сходится при и расходится при . Следовательно, область сходимости .

2. Пусть . При общий член ряда не стремится к нулю; следовательно, ряд расходится. Область сходимости состоит из одной точки: .

3. Пусть . Ряд , очевидно, сходится при . При ряд сходится абсолютно на основании признака Даламбера:

Область сходимости .