Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Сходимость ряда Тейлора в терминах остаточного члена
Определение. Остаточным членом ряда Тейлора называется функция . Остаточный член выражает погрешность, допускаемую при замене значения функции значением частичной суммы ее ряда Тейлора. Из определения остаточного члена вытекает равенство: . Сходимость ряда Тейлора в точке к , то есть равенство , означает, согласно определению сходимости ряда, что
. Итак, для сходимости ряда Тейлора в точке к необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член стремился к нулю.
Теорема (о виде остаточного члена). Если функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки , то при каждом фиксированном значении для всех из этой окрестности справедлива формула: , (34) где промежуточная точка зависит от и лежит между и . Замечание. В формуле (34) остаточный член имеет вид -го члена ряда Тейлора с той лишь разницей, что производная вычисляется не в самой точке , а в некоторой промежуточной точке. Доказательство. Зафиксируем точку из указанной окрестности и положим . ( — постоянное число). Нужно убедиться, что при некотором выполняется равносильное (34) равенство: . Имея ввиду применение теоремы Ролля, введем функцию , которая непрерывна на отрезке между и и дифференцируема в интервале с этими же границами: нетрудно убедиться —проведите необходимые выкладки — что , (*) , и . По теореме Ролля существует промежуточная точка , в которой . Тогда из (*) получаем . ■ Определение. Формула (34) носит название формулы остаточного члена в форме Лагранжа.
|