Сходимость ряда Тейлора в терминах остаточного члена

Определение. Остаточным членом ряда Тейлора называется функция .

Остаточный член выражает погрешность, допускаемую при замене значения функции значением частичной суммы ее ряда Тейлора.

Из определения остаточного члена вытекает равенство:

.

Сходимость ряда Тейлора в точке к , то есть равенство

,

означает, согласно определению сходимости ряда, что

.

Итак, для сходимости ряда Тейлора в точке к необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член стремился к нулю.

Теорема (о виде остаточного члена). Если функция бесконечно дифференцируема в окрестности точки , то при каждом фиксированном значении для всех из этой окрестности справедлива формула:

, (34)

где промежуточная точка зависит от и лежит между и .

Замечание. В формуле (34) остаточный член имеет вид -го члена ряда Тейлора с той лишь разницей, что производная вычисляется не в самой точке , а в некоторой промежуточной точке.

Доказательство. Зафиксируем точку из указанной окрестности и положим

.

( — постоянное число). Нужно убедиться, что при некотором выполняется равносильное (34) равенство: .

Имея ввиду применение теоремы Ролля, введем функцию

,

которая непрерывна на отрезке между и и дифференцируема в интервале с этими же границами: нетрудно убедиться —проведите необходимые выкладки — что

, (*)

, и .

По теореме Ролля существует промежуточная точка , в которой . Тогда из (*) получаем . ■

Определение. Формула (34) носит название формулы остаточного члена в форме Лагранжа.