Теорема Абеля для степенных рядов

Определение. Степенным рядом в окрестности точки называется функциональный ряд вида

. (20)

Ряд (20) называют также рядом по степеням . Числа называются коэффициентами степенного ряда.

Замечание. Степенной ряд (20) заведомо сходится при , и его сумма равна .

Рассмотрим степенной ряд в окрестности нулевой точки (ряд по степеням ):

. (21)

Он заведомо сходится в точке .

Теорема Абеля. 1. Если степенной ряд (21) сходится в точке , то он абсолютно сходится при всех , удовлетворяющих условию , то есть при .

2. Если степенной ряд (21) расходится в точке , то он расходится при всех , удовлетворяющих условию .

Доказательство. 1. Пусть числовой ряд сходится, и . По необходимому признаку сходимости =0. В силу ограниченности сходящейся последовательности существует число такое, что при всех выполняется неравенство:

. (22)

Запишем ряд (21) в виде:

.

Поскольку речь идет об абсолютной сходимости, рассмотрим ряд, составленный из модулей:

. (23)

Каждый член этого положительного ряда в силу (22) меньше соответствующего члена сходящегося ряда , образованного геометрической прогрессией с начальным членом и со знаменателем :

.

Поэтому ряд (23) сходится, то есть ряд (21) сходится абсолютно.

2. Пусть числовой ряд вида (21)

.

расходится в некоторой точке , и . Если бы в точке ряд сходился, то по первому утверждению теоремы он сходился бы в точке , что противоречит предположению. ■