Радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что областью сходимости степенного ряда (21) является либо единственная точка , либо промежуток числовой оси с центром в нулевой точке, либо вся числовая ось . Действительно, если — точка сходимости, то и интервал входит в область сходимости; если же — точка расходимости, то промежутки и состоят из точек расходимости. (Граничная точка области сходимости является точной верхней границей [1] тех положительных чисел , для которых степенной ряд сходится.)

Определение. 1. Если областью сходимости степенного ряда (20) является конечный промежуток, то интервалом сходимости степенного ряда (20) называется интервал такой, что в точках ряд сходится абсолютно, а в точках ряд расходится. Число называется при этом радиусом сходимости степенного ряда.

2. Если областью сходимости является вся числовая ось , то полагают .

3. Если область сходимости состоит только из нулевой точки, то полагают .

В граничных точках интервала сходимости и ряд может как сходиться, так и расходиться.

Из теоремы Абеля следует, что для степенного ряда (21) в окрестности нулевой точки интервал сходимости имеет вид , где — радиус сходимости.

Пример. Степенной ряд, образованный геометрической прогрессией со знаменателем

,

сходится при и расходится при ; поэтому радиус сходимости этого ряда .