Почленное дифференцирование степенного ряда

Укажем без доказательства (см., например, [1]), что справедлива следующая

Теорема. Пусть степенной ряд

имеет радиус сходимости , и при — его сумма. Тогда функция дифференцируема в интервале , степенной ряд

,

составленный из производных членов исходного ряда, имеет тот же интервал сходимости, и его сумма равна :

. (26)

Замечание. Теорема означает, что в интервале сходимости степенной ряд можно дифференцировать почленно:

.

Следствие. Сумма степенного ряда в интервале сходимости является бесконечно дифференцируемой функцией, и все ее производные можно получить последовательным почленным дифференцированием исходного ряда.

Действительно, к ряду (26), составленному из производных, снова можно применить теорему о почленном дифференцировании в интервале и т.д.

Пример. По формуле суммирования бесконечно убывающей геометрической прогрессии с начальным членом и знаменателем при :

.

Дифференцируя это равенство (причем ряд справа — почленно), получим:

или

. (27)

Равенство (27) справедливо при .