Формула Тейлора

Из определения остаточного члена следует, что . Записывая остаточный член в форме Лагранжа, получим:

,

или в подробной записи:

(35)

где — промежуточная точка между и . Формула (35) называется формулой Тейлора.

Рассмотрим частные случаи формулы Тейлора.

1. При формула (35) приводит к теореме Лагранжа:

или

.

2. При формула (35) принимает вид:

. (36)

Таким образом, она раскрывает структуру разности между приращением функции в точке и ее дифференциалом , которые, как известно [2], являются эквивалентными бесконечно малыми величинами при и отличаются на бесконечно малую величину более высокого порядка.

Эта формула позволяет оценивать погрешность, допускаемую в приближенных вычислениях при замене приращения функции ее дифференциалом.

Достаточное условие разложимости