Свойства функции распределения.

1. Значения функции распределения принадлежат отрезку : .

Действительно, есть вероятность некоторого случайного события, а вероятность всегда лежит в указанных пределах [13, п.3.2]. ▄

2. .

Доказательство. Введем случайные события:

, , ,

так что

.

Тогда , и правая часть есть сумма несовместных событий (рис. 1). Отсюда:

, и . ▄

3. Функция распределения является неубывающей:

при .

Доказательство. В предыдущих обозначениях событие влечет за

собой событие : . Следовательно, по свойству вероятности [13, п.3.2], выполняется неравенство , то есть . ▄

Рис.1.

4. Если все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку , то:

при ;

при .

Доказательство. При событие является невозможным; поэтому . При событие является достоверным; поэтому

. ▄

Укажем без доказательства следующие свойства:

5. Поведение на бесконечности:

, или .

6. Функция распределения непрерывна слева, то есть для каждого левосторонний предел функции в точке равен значению функции в этой точке:

, или в другой записи: .