Функция распределения дискретной случайной величины

Рассмотрим задачу нахождения функции распределения дискретной случайной величины на примере следующего закона распределения:

Четыре возможных значения случайной величины разбивают числовую ось на пять промежутков. Рассмотрим поочередно возможные случаи расположения аргумента .

1. Если , то событие является невозможным, в том числе и для крайней точки промежутка . Поэтому .

2. Если , то событие совпадает с событием , поскольку левее имеется лишь одно возможное значение случайной величины, а именно, . Значит,

.

3. Если , то событие означает, что или , поскольку левее имеются только два возможных значения случайной величины . Таким образом, имеем для этого случая: — сумма несовместных событий. Значит,

.

4. Если , то событие означает, что , или , или , поскольку левее имеются три указанных значения. Таким образом, в этом случае:

— сумма попарно несовместных событий. Значит,

.

5. Наконец, при событие является достоверным, поскольку все возможные значения случайной величины лежат левее . Следовательно,

.

Итак, график функции распределения имеет ступенчатый характер (рис. 2). Точка на правом конце каждой «ступеньки» означает, что именно на ней находится точка графика с данной абсциссой. Наоборот, стрелка на левом конце указывает, что крайняя левая точка «выколота». Таким образом, значения функции вблизи слева от аргумента совпадают со значением функции в самой точке , и, значит, имеют место непрерывность слева и разрыв первого рода (скачок) справа.

Рис.2.

График на рис. 2 наглядно иллюстрирует общие свойства функции распределения, описанные в п.1.2.