Закон распределения дискретной случайной величины

Определение. Случайная величина называется дискретной, если все ее возможные значения можно представить в виде конечной или бесконечной последовательности: .

Определение. Законом распределения дискретной с лучайной величины называется таблица (конечная или бесконечная), содержащая все ее возможные значения и вероятности принятия этих значений :

			…		…
			…		…

Будем обозначать закон распределения также в виде:

или .

Примеры. 1. Испытание: бросание игральной кости. Случайная величина — количество выпавших очков. Возможные значения — числа . Для каждого из этих значений схема равновозможных исходов дает вероятность 1/6. Закон распределения имеет вид:

	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

2. Испытание: три раза бросается монета. Случайная величина — количество выпадений герба. Возможные значения – числа . Вероятности значений находятся по схеме Бернулли как вероятности числа успехов (см. [13], п. 3.11), где вероятность успеха в отдельном испытании , вероятность неудачи :

;

;

;

.

Закон распределения имеет вид:

	1/8	3/8	3/8	1/8

3. Испытание: Стрельба по мишени до первого попадания. Вероятность попадания при отдельном выстреле равна . Случайная величина — количество произведенных выстрелов. Возможные значения: ; множество значений бесконечно. Найдем вероятности этих значений, считая результаты отдельных выстрелов независимыми событиями.

Если первое попадание произошло при -м выстреле, то первые выстрелов были промахами, а последний, -й, — попаданием. Введем события — попадание при -м выстреле (), так что

.

Тогда по теореме умножения для независимых событий (см. [13], п. 3.8):

.

Теорема. Сумма вероятностей закона распределения дискретной случайной величины равна :

. (1)

(если множество возможных значений бесконечна, то сумма в (1) понимается как сумма ряда, то есть как предел частичных сумм).

Доказательство. События при разных попарно несовместны. Поскольку одно из возможных значений обязательно реализуется в результате испытания, то . Тогда

. ▄