Теорема умножения для математического ожидания.

Определение. 1. Случайные величины называются независимыми, если для любых промежутков

независимы в совокупности события

, , …, .

2. Случайные величины , образующие бесконечную последовательность, называются независимыми, если для любого натурального любые случайных величин этой последовательности независимы.

Замечание. В частности, если и независимы, то для любых чисел и :

.

Теорема. Пусть случайные величины и независимы и имеют математические ожидания и . То гда

.

Доказательство. Ограничимся случаем конечного множества значений. Пусть законы распределения для и имеют вид:

;

.

Случайная величина принимает значений вида , где . Ограничимся для простоты случаем, когда все эти произведения различны. Обозначим через вероятности этих значений. Тогда, поскольку вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей,

.

Далее,

.

Производя в двойной сумме группировку слагаемых и вынося за знак внутренней суммы общий множитель , получаем:

. ▄