Свойства дисперсии

1. Для дисперсии справедлива формула:

. (7)

Доказательство. По свойствам математического ожидания

.

Во втором слагаемом постоянный множитель вынесем за знак математического ожидания; в третьем слагаемом математическое ожидание константы равно самой этой константе. В результате получаем:

. ▄

2. .

Действительно, формулы (5) и (6) приводят к суммам неотрицательных слагаемых. ▄

3. .

Доказательство. Применим формулу (7):

. ▄

4. Если случайная величина является постоянной («неслучайной») величиной: , то есть имеет закон распределения

то .

Доказательство. По свойству математического ожидания . Поэтому в формуле (7) для дисперсии

. ▄

5. Обратно, если , то случайная величина является постоянной: .

Доказательство. Пусть, —дискретная случайная величина, и . Если бы она с ненулевыми вероятностями принимала по крайней мере два разных значения, то есть имела закон распределения , то

,

поскольку, по крайней мере, одно слагаемое строго больше нуля. ▄

6. Теорема сложения для дисперсии. Если случайные величины и независимы, то .

Доказательство. По теореме умножения для математических ожиданий . Применим к формулу (7):

. ▄

Замечание. Аналогичное утверждение имеет место и для суммы/разности нескольких независимых случайных величин. Например,

.

Лемма (о независимости константы). Если случайная величина является постоянной: , то есть с вероятностью принимает значение , то для всякой случайной величины имеет место независимость и .

Доказательство. Пусть и произвольные промежутки. Рассмотрим два возможных случая.

1. . Тогда событие является достоверным, и . Далее,

,

так что условие независимости выполнено.

2. . Тогда событие является невозможным, и . Далее,

. ▄

Следствие. Если случайная величина является постоянной: , то для всякой случайной величины имеет место равенство: .

Доказательство. Поскольку случайные величины и независимы, то

. ▄