Распределение Пуассона. Определение.Дискретная случайная величина с бесконечным множеством значений распределена по закону Пуассона с параметром

Определение. Дискретная случайная величина с бесконечным множеством значений распределена по закону Пуассона с параметром , если она принимает значения с вероятностями

.

Распределение Пуассона имеют случайные величины, описывающие, например, работу АТС (пример системы массового обслуживания), катодную эмиссию электронов.

Найдем математическое ожидание и дисперсию распределения Пуассона, имея в виду, что

— ряд Маклорена для показательной функции.

1) . Первое слагаемое ряда равно нулю из-за множителя ; далее, при после сокращения в каждом слагаемом ряда получаем: . Поэтому, вынося постоянный множитель за знак ряда, получаем:

.

2) Используем для вычисления дисперсии формулу (7) и уже известное значение математического ожидания.

.

Случайная величина имеет закон распределения

.

Поэтому

.

Каждую дробь в скобках представляем в виде суммы двух слагаемых:

; ; …;

и т. д.

Группируя сначала все первые слагаемые, а затем из суммы вторых слагаемых вынося общий множитель , получаем:

.

Отсюда по формуле (7): .

Итак, для случайной величины , имеющей распределение Пуассона с параметром : .