Свойства плотности распределения.

1. В точках непрерывности плотность является производной функции распределения:

. (9)

В случае, когда плотность непрерывна на всей числовой оси, это следует из теоремы о производной интеграла с переменным верхним пределом [12]. ▄

Следствие. В точках непрерывности плотности функция распределения дифференцируема (а значит, и непрерывна) и является первообразной для плотности.

2. . (10)

Доказательство. По определению несобственного интеграла

. ▄

3. Для непрерывной случайной величины вероятность принять значение из полуоткрытого промежутка («вероятность попадания в промежуток») равна интегралу от плотности по этому промежутку:

. (11)

Доказательство. По свойству функции распределения:

▄

Замечание. Поскольку определенный интеграл в формуле (11) равен площади криволинейной трапеции для плотности , то при одинаковой длине промежутков больше вероятность попадания в тот из них, у которого больше площадь соответствующей криволинейной трапеции. Так, для плотности, график которой изображен на рис. 3, вероятность попадания в промежуток больше, чем вероятность попадания в промежуток .

Рис.3.