Математическое ожидание дискретной случайной величины

Пусть дискретная случайная величина принимает значения с вероятностями, соответственно, . Если при проведении испытаний значение появилось, раз (так что ), то среднее арифметическое реализованных значений представляется в виде:

.

Отношение является относительной частотой события . При большом числе испытаний относительные частоты колеблются вокруг соответствующих теоретических вероятностей . Поэтому колеблется вокруг значения

.

Это является основанием для следующего определения.

Определение. 1. Математическим ожиданием дискретной случайной величины с конечным множеством значений и с вероятностями этих значений, соответственно, называется число

, (2)

или в краткой записи

.

2. Математическим ожиданием дискретной случайной величины с бесконечным множеством значений и с вероятностями, называется сумма ряда

. (3)

При этом предполагается, что ряд является абсолютно сходящимся (то есть, существует предел последовательности частичных сумм, составленных из модулей его членов). Если абсолютной сходимости нет, то считают, что математическое ожидание не существует.

Статистический смысл математического ожидания: — это число, вокруг которого колеблется среднее арифметическое реализованных значений случайной величины при большом числе испытаний.

Пример. Пусть дискретная случайная величина имеет закон распределения:

:
:

Тогда .

В соответствии с эмпирическим законом больших чисел, следует ожидать, что при большом числе испытаний среднее арифметическое реализованных значений случайной величины окажется близким к числу .