Теоретичні відомості. Лінійні цифрові фільтри (ЛЦФ) - це лінійні дискретні схеми, призначені для обробки дискретних сигналів в дискретній формі

Лінійні цифрові фільтри (ЛЦФ) - це лінійні дискретні схеми, призначені для обробки дискретних сигналів в дискретній формі. Модель ЛЦФ може бути представлена у вигляді різністного рівняння або у графічній формі у вигляді структурної схеми. Властивості ЛЦФ можуть бути описані за допомогою передавальної функції, а також за допомогою імпульсної або перехідної характеристик.

Різністні рівняння - це аналог диференціальних рівнянь, які є математичними моделями аналогових схем, складених з LCR-елементів. Різницеве рівняння зазвичай отримують шляхом алгебраїзації| диференціального рівняння аналогового прототипу цифрового фільтру. Алгебраїзация - це перетворення диференціального рівняння в рівняння алгебри (різницеве) в результаті застосування того або іншого чисельного методу рішення диференціальних рівнянь. Наприклад, для RC-кола на рис.2.3, що є простим фільтром низьких частот, диференціальне рівняння має наступний вигляд:

, (6.1)

де - вхідний сигнал, - постійна часу кола.

Перетворимо це диференціальне рівняння в різністне, наприклад, за допомогою явного методу Ейлера. Відповідно до цього методу диференціальне рівняння вигляду

(6.2)

приблизно замінюється різницевим рівнянням

. (6.3)

Тут використана проста апроксимація похідної кінцевими різницями:

, (6.4)

де , – дискретні значення функції для моментів часу і - крок дискретизації. Права частина диференціального рівняння (6.2) береться для моменту часу .

Перетворивши (6.1) на підставі (6.3), отримаємо різністне рівняння ЛЦФ, відповідне даному RC-колу:

. (6.5)

Тут використано позначення: .

Явний метод Ейлера має обмеження на величину кроку . Для даного RC-кола крок вибирається з умови .

Різністне рівняння повинне бути доповнене початковими умовами. Для рівняння (6.5) початкова умова при нульових початкових умов задається у вигляді .

Рішення різністних рівнянь виконується рекурсивно, крок за кроком. Наприклад, рішення рівняння (6.5) за нульових початкових умов представляється у вигляді послідовності наступних кроків:

(6.6)

По різницевому рівнянню ЛЦФ можна скласти його структурну схему і, навпаки, по структурній схемі фільтру можна отримати різністне рівняння. При побудові структурних схем ЛЦФ зазвичай використовуються наступні базові елементи:

- суматор ;

- підсилювач (α > 1) або ослаблювач (α < 1) ;

- ланка запізнювання .

З використанням даних базових елементів структурна схема ЛЦФ, складена по різністному рівнянню (6.5), має вигляд, показаний на рис. 6.1.

Рисунок 6.1

Для складання передавальних функцій ЛЦФ використовується z-перетворення, що є різновидом дискретного перетворення Лапласа. Передавальна функція ЛЦФ – це відношення z-зображення вихідного сигналу фільтру до z-зображення вхідного сигналу :

. (6.6)

Для отримання z-зображення до дискретного сигналу

(6.7)

застосовують перетворення Лапласа:

. (6.8)

Тут - дельта - функція Дирака.

Потім оператора замінюють оператором z і отримують формулу прямого z-перетворення:

. (6.9)

Відзначимо, що заміна в перетворенні Лапласа комплексної частоти p змінної z, здійснює відображення лівої напівплощини комплексної площини за змінною p у середину круга одиничного радіусу, розташованого в центрі на комплексній площині за змінною z.

Ряд (6.7) є ряд Лорана, тому по теоремі Коші формула зворотного z-перетворення набуває наступного вигляду:

. (6.10)

Інтеграція тут проводиться по контуру ξ, що охоплює все p полюсів функції .

Алгоритм аналізу ЛЦФ за допомогою z-перетворення включає наступні етапи.

1. Знаходження z-зображення вхідного дискретного сигналу :

. (6.11)

1. Складання передавальної функції ЛЦФ.
2. Знаходження z-зображення вихідного дискретного сигналу:

. (6.12)

1. Знаходження вихідного дискретного сигналу по його z-зображенню :

. (6.13)

Тут Z, Z^-1 – оператори прямого і зворотного z-перетворення.

При складанні передавальної функції ЛЦФ по передавальній функції аналогового прототипу використовуються різні апроксимації оператора p оператором . При лінійному перетворенні має місце наступна апроксимація:

. (6.14)

При білінійному перетворенні:

. (6.15)

Ці співвідношення отримані в результаті розкладання експоненти у степінний ряд, представлений першими двома членами:

. (6.16)

Наприклад, RC-коло на рис. 2.3 з передавальною функцією

(6.17)

у разі лінійного перетворення (6.14) відповідатиме ЛЦФ з передавальною функцією

, (6.18)

де , .

По передавальній функції і зображенню вхідного сигналу можна скласти z-зображення різністного рівняння. Наприклад, для передавальної функції (6.18) в результаті множення лівої і правої частин виразу (6.12) на знаменник можна отримати:

. (6.19)

Цьому рівнянню алгебри з урахуванням теореми запізнювання:

(6.20)

відповідатиме різністне рівняння даного ЛЦФ:

. (6.21)

Імпульсна характеристика ЛЦФ визначається по співвідношенню:

. (6.22)

Наприклад, імпульсна характеристика ЛЦФ з передавальної функції (6.18) може бути отримана з рішення наступного різністного рівняння:

, (6.23)

де

По відомій імпульсній характеристиці за допомогою інтеграла згортки обчислюється реакція ЛЦФ на вхідний сигнал :

. (6.24)

Перехідна характеристика ЛЦФ визначається по співвідношенню:

. (6.25)

Тут - зображення дискретної одиничної ступінчастої функції.