![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Теоретичні відомості. Лінійні цифрові фільтри (ЛЦФ) - це лінійні дискретні схеми, призначені для обробки дискретних сигналів в дискретній формі
Лінійні цифрові фільтри (ЛЦФ) - це лінійні дискретні схеми, призначені для обробки дискретних сигналів в дискретній формі. Модель ЛЦФ може бути представлена у вигляді різністного рівняння або у графічній формі у вигляді структурної схеми. Властивості ЛЦФ можуть бути описані за допомогою передавальної функції, а також за допомогою імпульсної або перехідної характеристик. Різністні рівняння - це аналог диференціальних рівнянь, які є математичними моделями аналогових схем, складених з LCR-елементів. Різницеве рівняння зазвичай отримують шляхом алгебраїзації| диференціального рівняння аналогового прототипу цифрового фільтру. Алгебраїзация - це перетворення диференціального рівняння в рівняння алгебри (різницеве) в результаті застосування того або іншого чисельного методу рішення диференціальних рівнянь. Наприклад, для RC-кола на рис.2.3, що є простим фільтром низьких частот, диференціальне рівняння має наступний вигляд:
де Перетворимо це диференціальне рівняння в різністне, наприклад, за допомогою явного методу Ейлера. Відповідно до цього методу диференціальне рівняння вигляду
приблизно замінюється різницевим рівнянням
Тут використана проста апроксимація похідної кінцевими різницями:
де Перетворивши (6.1) на підставі (6.3), отримаємо різністне рівняння ЛЦФ, відповідне даному RC-колу:
Тут використано позначення: Явний метод Ейлера має обмеження на величину кроку Різністне рівняння повинне бути доповнене початковими умовами. Для рівняння (6.5) початкова умова при нульових початкових умов задається у вигляді Рішення різністних рівнянь виконується рекурсивно, крок за кроком. Наприклад, рішення рівняння (6.5) за нульових початкових умов представляється у вигляді послідовності наступних кроків:
По різницевому рівнянню ЛЦФ можна скласти його структурну схему і, навпаки, по структурній схемі фільтру можна отримати різністне рівняння. При побудові структурних схем ЛЦФ зазвичай використовуються наступні базові елементи:
- суматор
- підсилювач (α > 1) або ослаблювач (α < 1) - ланка запізнювання
З використанням даних базових елементів структурна схема ЛЦФ, складена по різністному рівнянню (6.5), має вигляд, показаний на рис. 6.1.
Рисунок 6.1
Для складання передавальних функцій ЛЦФ використовується z-перетворення, що є різновидом дискретного перетворення Лапласа. Передавальна функція ЛЦФ – це відношення z-зображення вихідного сигналу фільтру до z-зображення вхідного сигналу
Для отримання z-зображення до дискретного сигналу
застосовують перетворення Лапласа:
Тут Потім оператора
Відзначимо, що заміна в перетворенні Лапласа комплексної частоти p змінної z, здійснює відображення лівої напівплощини комплексної площини за змінною p у середину круга одиничного радіусу, розташованого в центрі на комплексній площині за змінною z. Ряд (6.7) є ряд Лорана, тому по теоремі Коші формула зворотного z-перетворення набуває наступного вигляду:
Інтеграція тут проводиться по контуру ξ, що охоплює все p полюсів функції Алгоритм аналізу ЛЦФ за допомогою z-перетворення включає наступні етапи.
Тут Z, Z-1 – оператори прямого і зворотного z-перетворення. При складанні передавальної функції
При білінійному перетворенні:
Ці співвідношення отримані в результаті розкладання експоненти у степінний ряд, представлений першими двома членами:
Наприклад, RC-коло на рис. 2.3 з передавальною функцією
у разі лінійного перетворення (6.14) відповідатиме ЛЦФ з передавальною функцією
де По передавальній функції
Цьому рівнянню алгебри з урахуванням теореми запізнювання:
відповідатиме різністне рівняння даного ЛЦФ:
Імпульсна характеристика ЛЦФ визначається по співвідношенню:
Наприклад, імпульсна характеристика ЛЦФ з передавальної функції (6.18) може бути отримана з рішення наступного різністного рівняння:
де По відомій імпульсній характеристиці за допомогою інтеграла згортки обчислюється реакція ЛЦФ на вхідний сигнал
Перехідна характеристика ЛЦФ визначається по співвідношенню:
Тут
|