Теоретичні відомості. Операторний метод аналізу заснований на аналізі сигналів і лінійних кіл за допомогою інтегральних перетворень Лапласа

Операторний метод аналізу заснований на аналізі сигналів і лінійних кіл за допомогою інтегральних перетворень Лапласа. Перетворення Лапласа є узагальненням інтегральних перетворень Фур’є і застосовуються для сигналів, визначених для моментів часу, які більше нуля:

(4.1)

де - одинична ступінчаста функція (функція Хевісайда).

Перетворення Лапласа виходять з перетворень Фур’є при введенні експоненціальної функції, затухаючої на нескінченності:

, (4.2)

де у – позитивне число.

Для функції (4.2) пряме інтегральне перетворення Фур’є запишеться у вигляді:

, (4.3)

де - комплексна частота.

З формули зворотного перетворення Фур’є виходить:

. (4.4)

Звідси

. (4.5)

Перетворення Лапласа, представлені формулами (4.3), (4.5), можна перетворити у дискретну форму, використовуючи формули (3.6), (3.7) дискретного перетворення Фур’є. З порівняння цих формул витікають співвідношення для дискретного перетворення Лапласа:

, (4.6)

, (4.7)

де – крок квантування.

Для розрахунків за формулами (4.6), (4.7) з використанням функцій БПФ fft і ifft слід задати інтервал [0, T] дискретизації сигналу і точність розрахунку ε. За значеннями ε і Т обчислити константу і крок квантування Δ t:

, (4.8)

, (4.9)

де , р – ціле число.