Контрольные работы. Задача 1 – Расчет статически неопределимых стержневых систем

Задача 1 – Расчет статически неопределимых стержневых систем

Задание. Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с помощью шарниров (рисунок 1).

Рисунок 1 – Схемы шарнирно-стержневых систем

Требуется:

1) найти усилия (N) в стержнях, выразив их через силу F;

2) найти допускаемую нагрузку F ´ _доп, приравняв большее из напряжений в двух стержнях к допускаемому напряжению [σ ]=160 МПа;

3) найти предельную грузоподъемность системы и допускаемую нагрузку F ´ ´ _доп, если предел текучести σ _т=240 МПа и запас прочности k = 1, 5;

4) сравнить величины F _доп, полученные при расчете по допускаемым напряжениям (см. п. 2) и допускаемым нагрузкам (см. п. 3). Данные взять из таблицы 1.

Таблица 1 – Исходные данные к задаче 1

Для определения двух неизвестных усилий в стержнях следует составить одно уравнение статики и одно уравнение совместности деформаций. При этом направления усилий в отброшенных стержнях выбирать по правилу: если стержень получает удлинение, то усилие в нем направлять от узла крепления, и, наоборот, если стержень укорачивается, то к узлу.

Для ответа на третий вопрос задачи следует иметь в виду, что в одном из стержней напряжение больше, чем в другом; условно назовем этот стержень первым. При увеличении нагрузки напряжение в первом стержне достигнет предела текучести раньше, чем во втором.

Когда это произойдет, напряжение в первом стержне не будет некоторое время расти даже при увеличении нагрузки и будет оставаться равным σ _т. Отсюда усилие в первом стержне:

N₁ = σ _т F ₁. (1)

При дальнейшем увеличении нагрузки напряжение и во втором стержне достигнет предела текучести:

N₂ = σ _т F ₂. (2)

Написав уравнение статики и подставив в него значения усилий (1) и (2), найдем из этого уравнения предельную грузоподъемность .

Пример 1. Рассмотрим шарнирно – стержневую систему, представленную на рисунке 2.

Рисунок 2 – Схема шарнирно – стержневой системы

Данные для расчета:

а = 4 м; в = 3 м; с = 2 м; A = 10 м²; α = 45˚; = 160 МПа;

= 240 МПа.

Примечание – брус ВАС считать абсолютно жестким.

Решение

1. Найдем усилия и напряжения в стержнях.

Для определения напряжений от действия внешней нагрузки в деформируемых стержнях 1 и 2 необходимо знать внутренние усилия в этих стержнях N и N , которые направлены вдоль стержней (рисунок 3). От действия заданной нагрузки F в неподвижном шарнире А возникают реактивные силы V и Н . Для определения усилий в стержнях рассмотрим условия статического равновесия данной системы.

Рисунок 3 – Схема к определению усилий в стержнях

Статическая сторона задачи

Приведем уравнения статического равновесия стержня ВАС. Поскольку система плоская, составим три уравнения:

; Н N cos = 0; (1)

; V + N – N sin F = 0; (2)

; N в + N a sin – F (c+ в) = 0. (3)

В этих трех уравнениях имеется четыре неизвестных усилия. Поскольку величины опорных реакций V и Н по условию задачи определять не требуется, то для дальнейшего решения задачи пользуемся уравнением (3). В этом уравнении два неизвестных, таким образом, задача один раз статически неопределима. Дополнительное уравнение составляем из условия совместности перемещений, т.е. геометрической зависимости между деформациями стержней.

Геометрическая сторона задачи

Под действием силы F брус ВАС повернется и займет положение В АС (рисунок 3), при этом точка С перейдет в положение С , а точка В – в положение В , перемещаясь по нормали к первоначальному положению бруса ВАС вследствие малости угла поворота. Тогда отрезок СС является удлинением стержня 1. Чтобы найти величину удлинения стержня 2, необходимо на направление стержня 2 из точки В опустить перпендикуляр. Отрезок В₁D представляет собой удлинение стержня 2. Таким образом,

СС = ∆ , В₁D = ∆ .

Установим зависимость между величинами ∆ и ∆ . Из подобия треугольников АВВ и АСС можно записать:

,

где (из ∆ BB D).

Тогда

, или .

Следовательно,

. (4)

Уравнение (4) представляет зависимость между удлинениями стержней системы.

Физическая сторона задачи

Удлинения стержней 1 и 2 выражаем через усилия N и N по закону Гука:

; .

Тогда выражение (4) запишем так:

в.

Зная, что в и ,

получаем

и затем

2 . (5)

Решив совместно уравнение (3) и (5), выразим усилия N и через F:

Из второго уравнения выразим N :

Подставим это выражение в первое уравнение системы

.

Выполним преобразования

F.

Тогда

F.

Определим напряжения в стержнях в долях F:

F;

F.

2. Определим допускаемую нагрузку F ´ _доп из расчета по допускаемым напряжениям, приравняв максимальное напряжение в стержне к допускаемому :

740 F ´ =1.6 Н/м .

Отсюда

F ´ кН.

3. Определим предельную грузоподъемность системы и допускаемую нагрузку F ´ ´ _доп из расчета по предельному состоянию.

Несущая способность системы будет исчерпана тогда, когда в обоих деформируемых стержнях напряжение достигнет предела текучести.

Предельные внутренние усилия в стержнях 1 и 2 при этом равны:

кН,

= кН.

Предельную грузоподъемность определим из условия статического равновесия (3):

N .

Отсюда

F = кН.

Допускаемая нагрузка при запасе прочности k = 1, 5:

F ´ ´ _доп кН.

4. Сравним величины F из расчета по допускаемым напряжениям и допускаемым нагрузкам. Сопоставление показывает, что F ´ ´ _доп превышает F ´ _доп на

.